Arctic Neural | Strandbeest Leg

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.13.15%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22%2C%20app_title%3D%22Arctic%20Neural%20%7C%20Strandbeest%20Leg%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Arctic%20Neural%3A%20Strandbeest%20Leg%20Demo%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Introduction%0A%0A%20%20%20%20Strandbeests%20are%20artificial%20creatures%20powered%20by%20wind%20alone%20and%20are%20able%20to%20traverse%20sandy%20beach%20areas%20on%20legs.%0A%20%20%20%20They%20have%20been%20created%20by%20Theo%20Jansen%20and%20are%20traversing%20the%20coasts%20of%20the%20Netherlands%20since%201990.%0A%20%20%20%20You%20can%20find%20more%20information%20on%20the%20official%20homepage%3A%20https%3A%2F%2Fwww.strandbeest.com.%0A%0A%20%20%20%20Strandbeests%20can%20be%20considered%20a%20mix%20of%20a%20long-term%20art%20project%2C%20an%20attempt%20to%20understand%20and%20%22feel%22%20evolution%2C%20and%20according%20to%20their%20creator%20the%20reason%20behind%20their%20existence%20in%20the%20first%20place%20is%20a%20serious%20topic%3A%20the%20protection%20of%20the%20natural%20coastal%20area%20of%20the%20Netherlands.%0A%0A%20%20%20%20%22Evolution%22%20is%20a%20term%20intentionally%20chosens%2C%20as%20those%20artificial%20creatures%20have%20been%20given%20more%20sophisticated%20traits%20beyond%20just%20walking%20over%20the%20time.%0A%20%20%20%20Now%2C%20you%20can%20find%20flying%2F%20gliding%20variants%2C%20or%20those%20that%20even%20perceive%20their%20surroundings%20to%20some%20primitive%20degree%20through%20a%20setup%20of%20water%20feelers%20and%20a%20%22brain%22.%0A%20%20%20%20All%20of%20this%20without%20any%20form%20of%20electricity%20powering%20any%20electrical%20components.%0A%20%20%20%20(Find%20out%20more%20on%20https%3A%2F%2Fwww.strandbeest.com%2Fexplains.)%0A%0A%20%20%20%20In%20this%20demo%2C%20we%20take%20a%20look%20at%20the%20Strandbeest%20on%20legs.%0A%20%20%20%20Below%2C%20you%20see%20a%20schematic%20demonstration%20of%20a%20simple%20version.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(POINTS%2C%20visualise_frames)%3A%0A%20%20%20%20visualise_frames(POINTS)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(generations%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20It%20works%20like%20this%3A%0A%20%20%20%20Point%20%24A%24%20is%20fixed%20and%20serves%20as%20the%20leg's%20hip%20joint.%0A%20%20%20%20Point%20%24B%24%20moves%20on%20a%20circular%20path%20at%20a%20constant%20rate.%0A%20%20%20%20If%20there%20was%20an%20engine%2C%20this%20would%20be%20what%20powers%20the%20leg.%0A%20%20%20%20In%20reality%2C%20it's%20the%20wind%20that%20powers%20the%20motion%20and%20translates%20to%20revolution%20of%20%24B%24.%0A%20%20%20%20Connected%20to%20other%20legs%20on%20the%20creature%20in%20varying%20angular%20phases%2C%20this%20propels%20the%20Strandbeest%20forward%2C%20similar%20to%20how%20the%20cylinders%20of%20an%20engine%20at%20distinct%20phases%20together%20make%20a%20car's%20wheels%20spin.%0A%20%20%20%20The%20rest%20of%20the%20leg%20is%20inspired%20by%20a%20biological%20counterpart%2C%20yet%20kept%20as%20simple%20as%20possible.%0A%0A%20%20%20%20Think%20of%20the%20leg%20as%20the%20front%20leg%20of%20an%20animal%3B%20the%20moving%20direction%20then%20would%20be%20from%20right%20to%20left%20in%20the%20animation%2C%20with%20the%20%22knee%22%20%24E%24%20and%20%24F%24%20then%20actually%20being%20an%20%22elbow%22.%0A%0A%20%20%20%20%24H%24%20is%20the%20wrist%20joint%20where%20the%20foot%20would%20be%20attached.%0A%20%20%20%20That's%20the%20part%20of%20the%20leg%20that%20has%20contact%20with%20the%20ground.%0A%20%20%20%20The%20path%20it%20traces%20is%20what%20we%20are%20going%20to%20focus%20in%20this%20demo%2C%20as%20it%20determines%20the%20smoothness%20of%20the%20walk%20itself.%0A%20%20%20%20The%20structure%20of%20the%20leg%20remains%20fixed%2C%20but%20we%20are%20free%20to%20choose%20the%20lengths%20of%20each%20edge%2C%20so%20long%20as%20a%20walking%20leg%20can%20be%20constructed%20from%20that%20choice.%0A%0A%20%20%20%20This%20demo%20gets%20a%20bit%20more%20technical%20and%20shows%20its%20source%20code%20from%20the%20beginning.%0A%20%20%20%20And%20it's%20a%20bit%20less%20interactive%20than%20my%20other%20demos%2C%20because%20this%20time%20the%20actual%20algorithm%20and%20methodology%20is%20the%20focus%20here.%0A%20%20%20%20That's%20not%20to%20say%20that%20you%20can't%20download%20the%20notebook%20and%20play%20around%20with%20it%20yourself%20if%20you%20want.%0A%20%20%20%20Since%20it's%20a%20%5Bmarimo%5D(https%3A%2F%2Fmarimo.io)%20notebook%2C%20all%20you%20need%20to%20run%20it%20is%20a%20Python%20environment%2C%20the%20%60marimo%60%20package%20itself%20(%60pip%20install%20marimo%60%20or%20%60uv%20add%20marimo%60)%20and%20the%20%5B%60uv%60%5D(https%3A%2F%2Fdocs.astral.sh%2Fuv%2F)%20package%20manager%20(since%20%60marimo%60%20uses%20%60uv%60%20to%20manage%20its%20package%20dependencies%3B%20%60curl%20-LsSf%20https%3A%2F%2Fastral.sh%2Fuv%2Finstall.sh%20%7C%20sh%60%20for%20maxOS%20and%20Linux%2C%20and%20%60powershell%20-ExecutionPolicy%20ByPass%20-c%20%22irm%20https%3A%2F%2Fastral.sh%2Fuv%2Finstall.ps1%20%7C%20iex%22%60%20for%20Windows).%0A%20%20%20%20Check%20out%20the%20official%20websites%20for%20more%20information%20and%20detailed%20installation%20and%20usage%20instructions%20on%20each%20of%20them.%0A%0A%20%20%20%20The%20goal%20of%20the%20demo%20is%20_not_%20to%20provide%20a%20full%2C%20optimal%20solution%20for%20the%20ideal%20strandbeest%20leg%20in%20practice.%0A%20%20%20%20It%20would%20be%20computationally%20expensive%20and%20complicate%20the%20code%20beyond%20the%20purpose%20of%20the%20notebook.%0A%20%20%20%20Instead%2C%20I%20aim%20to%20explain%20the%20use%20of%20a%20**genetic%20algorithm**%20for%20an%20optimisation%20problem%20and%20illustrate%20the%20process%20through%20dynamically%20generated%20illustrations%20(GIFs)%20_inside_%20the%20notebook.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Genetic%20Algorithms%0A%0A%20%20%20%20Genetic%20algorithms%20are%20optimisation%20algorithms%20and%20a%20subset%20of%20%5BMonte%20Carlo%20methods%5D(https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FMonte_Carlo_method).%0A%20%20%20%20The%20name%20stems%20from%20the%20implementation%20of%20mechanics%20taken%20from%20our%20understanding%20of%20genetics%2C%20namely%20the%20alteration%20of%20%22genes%22%20(configurations)%20through%20generations%20by%20combining%20the%20properties%20of%20%22parents%22%20through%20_crossover_%20and%20by%20allowing%20small%20random%20variations%20through%20_mutation_.%0A%20%20%20%20The%20%22parents%22%20that%20serve%20as%20the%20blueprints%20for%20the%20next%20generation%20are%20typically%20chosen%20based%20on%20their%20_fitness_%2C%20a%20function%20that%20_evaluates_%20their%20performance%20or%20quality%20with%20respect%20to%20the%20problem%20at%20hand.%0A%20%20%20%20Generations%20are%20iteratively%20generated%20until%20a%20termination%20criterium%20is%20reached.%0A%20%20%20%20In%20our%20case%2C%20since%20we%20don't%20aim%20to%20actually%20arrive%20at%20the%20optimal%20leg%2C%20we%20will%20just%20fix%20the%20number%20of%20generations%20to%20%7Bgenerations()%7D%20and%20display%20our%20findings%20up%20to%20that%20point.%0A%20%20%20%20In%20practice%2C%20like%20with%20any%20other%20optimisation%20algorithm%2C%20you'd%20typically%20add%20a%20precision%20constraint%20that%20makes%20the%20algorithm%20stop%20once%20no%20further%20or%20only%20marginal%20improvements%20are%20observed%20as%20the%20iterations%20continue.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Terminology%20in%20this%20notebook%0A%0A%20%20%20%20Functions%20and%20routines%20tied%20directly%20to%20the%20genetic%20algorithm%20part%20are%20named%20with%20inspiration%20from%20their%20biological%20counterparts%20to%20communicate%20their%20meanings%20and%20effects%20inside%20the%20code.%0A%20%20%20%20Thus%2C%20%60chromosome%60%20refers%20to%20the%20actual%20_configuration_%20of%20the%20leg%2C%20i.e.%2C%20the%20edge%20lengths%20themselves%2C%20which%20is%20just%20an%20ordered%20list%20of%20numbers%20used%20by%20the%20animation%20part%20to%20construct%20the%20images.%0A%0A%20%20%20%20For%20generating%20the%20illustrations%2C%20the%20terminology%20switches%20to%20%60leg%60%20for%20the%20edge%20lengths%20(%60chromosome%60%20in%20the%20genetic%20part)%2C%20and%20we%20use%20the%20name%20%60frame%60%20or%20%60frames%60%20a%20lot%2C%20which%20correspond%20to%20the%20animation%20frames%20generated%20from%20a%20%60leg%60.%0A%0A%20%20%20%20Inside%20the%20function%20%60genetic_algorithm()%60%20itself%2C%20we%20refer%20to%20%60frames%60%20as%20well%2C%20because%20a%20%60leg%60%20produced%20by%20the%20algorithm%20is%20valid%20_only_%20if%20it%20can%20actually%20move%20through%20a%20whole%20animation%20cycle.%0A%20%20%20%20Thus%2C%20the%20coordinates%20of%20each%20of%20the%20vertices%20%24(A%2C%20B%2C%20C%2C%20D%2C%20E%2C%20F%2C%20G%2C%20H)%24%20are%20computed%20for%20the%20entire%20movement%20during%20an%20iteration%20to%20validate%20a%20leg%20in%20the%20first%20place.%0A%0A%20%20%20%20The%20%60frames%60%20for%20each%20leg%20are%20stored%20in%20a%20%60pandas.DataFrame%60%20object%20each%2C%20where%20the%20rows%20contain%20the%20coordinates%20of%20each%20vertex%20for%20a%20particular%20animation%20frame.%0A%20%20%20%20This%20can%20get%20a%20bit%20confusing%2C%20so%20I%20want%20to%20point%20out%20explicitly%20that%20nowhere%20in%20the%20code%20does%20the%20word%20%60frame%60%20correspond%20to%20a%20%60pandas.DataFrame%60%20object%20itself%2C%20but%20a%20row%20_inside_%20it%20instead.%0A%20%20%20%20The%20entirety%20of%20all%20the%20animation%20%60frames%60%20for%20a%20leg%20_are_%20the%20%60pandas.DataFrame%60%20object%20then.%0A%0A%20%20%20%20To%20help%20understanding%20the%20individual%20function%20arguments%20(types)%2C%20I%20include%20short%20docstrings%20for%20each%20of%20them%20even%20though%20they%20don't%20serve%20any%20functional%20purpose%20in%20this%20notebook.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Setup%0A%0A%20%20%20%20First%2C%20we%20import%20the%20packages%20we%20need.%0A%20%20%20%20Aside%20from%20%60marimo%60%20itself%20to%20run%20the%20notebook%2C%20we%20make%20heavy%20use%20of%20%60numpy%60%20functions%20and%20constructs.%0A%20%20%20%20And%20for%20convenience%20when%20constructing%20animation%20frames%20from%20legs%2C%20we%20use%20%60pandas.DataFrame%60s.%0A%20%20%20%20Although%20this%20is%20not%20a%20requirement%3B%20with%20some%20minor%20adjustments%20this%20package%20can%20be%20removed.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20%E2%9A%A0%EF%B8%8F%20**Issues%20with%20%60pandas%60%20and%20%60uv%60**%0A%0A%20%20%20%20As%20of%20writing%20this%20notebook%20(June%202025)%2C%20the%20latest%20release%20of%20%60pandas%60%20(version%202.3.0)%20fails%20to%20build%20using%20%60uv%60!%0A%20%20%20%20Thus%2C%20the%20notebook%20itself%20suggests%20version%20%60%3C%202.3%60%20(or%20%602.2.3%60%20in%20particular)%2C%20although%20when%20downloading%20and%20running%20the%20notebook%20on%20your%20own%20machine%20you%20are%20given%20the%20option%20to%20install%20the%20_latest_%20version%20instead%20by%20default.%0A%20%20%20%20**Don't%20do%20that%2C**%20or%20you%20might%20get%20errors%20and%20the%20notebook%20won't%20run.%0A%20%20%20%20Explicitly%20**select%20version%202.2.3**%20instead.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%0A%20%20%20%20The%20function%20%60collections.namedtuple%60%20helps%20generating%20more%20readable%20code%20later%20down%20the%20road%2C%20as%20it%20allows%20to%20give%20a%20named%20structure%20to%20the%20tuples%20that%20the%20genetic%20algorithm%20functions%20return.%0A%0A%20%20%20%20For%20generating%20the%20illustrations%2C%20we%20use%20%60PIL%60%2C%20and%20in%20order%20to%20display%20them%20directly%20in%20the%20notebook%20without%20saving%20them%2C%20we%20use%20a%20%60io.BytesIO%60%20stream%20and%20a%20%60base64%60%20encoding.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20import%20base64%0A%20%20%20%20from%20io%20import%20BytesIO%0A%20%20%20%20from%20collections%20import%20namedtuple%0A%20%20%20%20from%20PIL%20import%20Image%2C%20ImageDraw%2C%20ImageFont%0A%20%20%20%20return%20BytesIO%2C%20Image%2C%20ImageDraw%2C%20ImageFont%2C%20base64%2C%20mo%2C%20namedtuple%2C%20np%2C%20pd%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20For%20the%20visuals%2C%20we%20define%20a%20set%20of%20colors%20to%20use.%0A%20%20%20%20Those%20in%20particular%20are%20the%20%5BArctic%20Nights%5D(https%3A%2F%2Fwww.color-hex.com%2Fcolor-palette%2F30810)%20color%20palette%20that%20I%20also%20use%20on%20my%20website%20(%5Barcticneural.de%5D(https%3A%2F%2Farcticneural.de)).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20COLORS%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23303636%22%2C%20%20%23%20dark%20gray%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23131717%22%2C%20%20%23%20black-ish%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%236399EE%22%2C%20%20%23%20light%20blue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%232A3D82%22%2C%20%20%23%20dark%20blue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23F1F3FF%22%2C%20%20%23%20white-ish%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20return%20(COLORS%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Constructing%20and%20visualising%20a%20leg%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20initial%20animation%20that%20we%20want%20to%20show%20upfront%20we%20need%20an%20initial%20set%20of%20edge%20lengths.%0A%20%20%20%20Those%20here%20are%20chosen%20arbitrarily%20(such%20that%20they%20work%20and%20produce%20a%20functional%20leg).%0A%0A%20%20%20%20We%20won't%20reuse%20that%20leg%20elsewhere%20aside%20from%20the%20first%20animation%2C%20but%20take%20note%20of%20the%20order%20of%20the%20edge%20names%20here.%0A%20%20%20%20It's%20in%20alphabetical%20order%2C%20and%20each%20%60chromosome%60%20later%20will%20store%20the%20edge%20lengths%20for%20each%20leg%20in%20the%20exact%20same%20way%20(except%20we%20will%20reduce%20the%20dictionary%20to%20a%20list%20for%20simplicity).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20INITIAL_LEG%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22AC%22%3A%204%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22AD%22%3A%203%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22AE%22%3A%204%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22AF%22%3A%204%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22BC%22%3A%205%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22BF%22%3A%204%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22CD%22%3A%205%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22DE%22%3A%204%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22EG%22%3A%203%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22EH%22%3A%206%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22FG%22%3A%203%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22GH%22%3A%205%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20return%20(INITIAL_LEG%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Next%2C%20some%20parameters%20for%20the%20GIF%20animations%20themselves.%0A%20%20%20%20%60WIDTH%60%20and%20%60HEIGHT%60%20are%20just%20canvas%20dimensions%20for%20mapping%20the%20coordinate%20system%20we%20use%20for%20the%20vertices%20onto%2C%20but%20we%20will%20use%20cropping%20and%20some%20transformation%20to%20produce%20the%20actual%20image%20sizes%20later.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(ImageFont)%3A%0A%20%20%20%20WIDTH%2C%20HEIGHT%20%3D%20512%2C%20512%0A%20%20%20%20POINT_SIZE%20%3D%203%0A%20%20%20%20LINE_WIDTH%20%3D%202%0A%20%20%20%20FONT%20%3D%20ImageFont.load_default(size%3D14)%20%20%23%20no%20assumptions%20on%20available%20fonts%0A%20%20%20%20return%20FONT%2C%20HEIGHT%2C%20LINE_WIDTH%2C%20POINT_SIZE%2C%20WIDTH%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20angle%20%24%5Cvartheta%24%20is%20the%20phase%20of%20the%20Point%20%24B%24%20around%20its%20center.%0A%20%20%20%20Here%2C%20we%20store%20the%20values%20of%20each%20angle%20in%20an%20array%20%60theta%60%20for%20each%20individual%20frame.%0A%20%20%20%20The%20number%20of%20frames%2C%20obtained%20with%20the%20function%20%60n_frames()%60%2C%20determines%20the%20size%20of%20the%20array.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(n_frames%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20theta%20%3D%20np.arange(0%2C%202%20*%20np.pi%2C%202%20*%20np.pi%20%2F%20n_frames())%0A%20%20%20%20return%20(theta%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20It%20should%20be%20noted%20that%20unlike%2C%20say%2C%20Jupyter%20notebooks%2C%20%60marimo%60%20notebooks%20don't%20rely%20on%20a%20strict%20top-down%20order%20of%20code%20cells%20to%20work.%0A%20%20%20%20In%20fact%2C%20%60marimo%60%20notices%20wich%20cell%20depends%20on%20which%2C%20and%20executes%20them%20_in%20order%20of%20dependency_.%0A%20%20%20%20Which%20means%20that%20we%20can%20define%20%60theta%60%20like%20we%20did%20before%20with%20a%20yet%20_unknown_%20function%20%60n_frames()%60%2C%20and%20implement%20it%20later.%0A%20%20%20%20This%20allows%20to%20introduce%20ideas%20and%20thoughts%20in%20the%20order%20they%20come%20up%2C%20and%20not%20necessarily%20in%20the%20order%20of%20structural%20requirements%2C%20which%20I%20will%20make%20use%20of%20to%20try%20and%20provide%20a%20more%20natural%20explanation%20of%20how%20things%20work.%0A%0A%20%20%20%20To%20synchronise%20controls%20reliably%2C%20%60marimo%60%20introduces%20a%20construct%20named%20%60marimo.state()%60%2C%20which%20seves%20as%20the%20_single%20source%20of%20truth_%20for%20each%20synchronised%20control.%0A%20%20%20%20Due%20to%20the%20dependency%20order%20of%20execution%20and%20the%20way%20%60marimo%60%20tracks%20and%20updates%20changes%2C%20states%20and%20controls%20_must_%20be%20defined%20in%20_separate%20cells_.%0A%20%20%20%20(You%20_can_%20define%20multiple%20controls%20in%20one%20cell%2C%20mind%2C%20but%20only%20if%20they%20aren't%20to%20be%20synchronised%20with%20each%20other.)%0A%0A%20%20%20%20The%20%60marimo.state()%60%20function%20consumes%2C%20among%20other%20things%2C%20an%20initial%20value%20for%20the%20state%20(or%20field)%20itself%2C%20and%20returns%20a%20tuple%20of%20a%20getter%20and%20a%20setter%20for%20the%20state.%0A%20%20%20%20We%20unwrap%20those%20directly%20onto%20the%20getter%20%60n_frames()%60%20and%20the%20setter%20%60set_n_frames()%60.%0A%20%20%20%20The%20names%20can%20be%20arbitrarily%20chosen.%0A%20%20%20%20In%20practice%2C%20you'd%20typically%20find%20a%20more%20rigid%20convention%20like%20%60get_%3Cfield%3E()%60%20and%20%60set_%3Cfield%3E(value)%60%20pairs%20as%20the%20_properties_%20corresponding%20to%20a%20private%20_field_%20in%20the%20context%20of%20classes.%0A%20%20%20%20But%20in%20this%20notebook%20I%20prefer%20a%20functional%20programming%20style%20and%20I%20make%20use%20of%20libraries%20that%20are%20built%20with%20a%20preference%20for%20that%2C%20too%20(namely%20%60numpy%60%20and%2C%20by%20extension%2C%20%60pandas%60).%0A%20%20%20%20Thus%2C%20I%20choose%20not%20to%20strictly%20adhere%20to%20OO%20principles%20here%2C%20and%20instead%20just%20make%20a%20little%20remark.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20n_frames%2C%20set_n_frames%20%3D%20mo.state(30)%0A%20%20%20%20return%20n_frames%2C%20set_n_frames%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20With%20the%20state%20created%20and%20a%20getter-setter%20pair%20available%20now%2C%20we%20can%20create%20the%20controls%20we%20want%20to%20interact%20with%20the%20state.%0A%20%20%20%20Most%20(or%20all%3F)%20of%20the%20%60marimo.ui%60%20controls%20consume%20a%20%60value%60%20parameter%20and%20an%20%60on_change%60%20(or%2C%20in%20the%20case%20of%20a%20button%2C%20%60on_click%60)%20parameter%20that%20determines%20its%20interactive%20behaviour.%0A%20%20%20%20The%20rule%20of%20thumb%20for%20synchronised%20controls%20is%3A%0A%20%20%20%20use%20the%20_getter_%20to%20assign%20the%20%60value%60%2C%20and%20define%20the%20_setting%20behaviour_%20in%20the%20%60on_change%60%20or%20%60on_click%60%20parameters.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20n_frames%2C%20set_n_frames)%3A%0A%20%20%20%20n_frames_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dn_frames()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_change%3Dlambda%20value%3A%20set_n_frames(value)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(n_frames_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20n_frames%2C%20set_n_frames)%3A%0A%20%20%20%20n_frames_number%20%3D%20mo.ui.number(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dn_frames()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_change%3Dlambda%20value%3A%20set_n_frames(value)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(n_frames_number%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20n_frames%2C%20set_n_frames)%3A%0A%20%20%20%20n_frames_incr_button%20%3D%20mo.ui.button(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%2B5%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_click%3Dlambda%20_%3A%20set_n_frames(min(50%2C%20n_frames()%20%2B%205))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(n_frames_incr_button%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20n_frames%2C%20set_n_frames)%3A%0A%20%20%20%20n_frames_decr_button%20%3D%20mo.ui.button(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22-5%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_click%3Dlambda%20_%3A%20set_n_frames(max(10%2C%20n_frames()%20-%205))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(n_frames_decr_button%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Finally%2C%20we%20put%20the%20four%20controls%20together%20in%20a%20single%20line%20(or%20rather%20a%20%60marimo.hstack()%60)%20for%20display.%0A%20%20%20%20Note%20that%20the%20slider%20and%20the%20number%20field%20are%20synchronised%2C%20and%20the%20buttons%20change%20those%20two%20controls%20in%20the%20expected%20way.%0A%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20admonition%20%7C%20%E2%9A%A0%EF%B8%8F%20But%20also%20note%20that%20changing%20the%20value%20will%20trigger%20the%20recomputation%20of%20_all_%20GIFs%2C%20freezing%20the%20notebook%20for%20a%20bit!%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20n_frames_decr_button%2C%0A%20%20%20%20n_frames_incr_button%2C%0A%20%20%20%20n_frames_number%2C%0A%20%20%20%20n_frames_slider%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Numnber%20of%20frames%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n_frames_number%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n_frames_decr_button%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n_frames_incr_button%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n_frames_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20widths%3D%5B3%2C%201%2C%200.5%2C%200.5%2C%2010%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22With%20the%20array%20%60theta%60%20now%20available%2C%20we%20can%20compute%20all%20coordinates%20of%20point%20%24B%24%20for%20each%20frame%2C%20and%20store%20it%20in%20an%20array%20%60B%60%3A%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(from_polar%2C%20np%2C%20theta)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Locations%20of%20the%20B%20point%0A%20%20%20%20B%20%3D%20np.array(%5Bnp.array(%5B2.5%2C%201%5D)%20%2B%20from_polar(1%2C%20t)%20for%20t%20in%20theta%5D)%0A%20%20%20%20return%20(B%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22The%20function%20%60from_polar()%60%20here%20simply%20turns%20polar%20to%20cartesian%20coordinates%2C%20like%20so%3A%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20from_polar(r%2C%20t)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Returns%20the%20cartesian%20coordinates%20(x%2C%20y)%20from%20their%20polar%20representation%20(r%2C%20t).%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.array(%5Br%20*%20np.cos(t)%2C%20r%20*%20np.sin(t)%5D)%0A%20%20%20%20return%20(from_polar%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22And%20from%20%24A%24%20and%20%24B%24%2C%20given%20a%20%60leg%60%20as%20a%20collection%20of%20edge%20lengths%20like%20%60INITIAL_LEG%60%2C%20we%20should%20be%20able%20to%20construct%20all%20the%20other%20vertices%20straight-forwardly%3A%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(B%2C%20n_frames%2C%20np%2C%20pd%2C%20point_from)%3A%0A%20%20%20%20def%20construct_frames(leg)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20a%20newly%20constructed%20%60pandas.DataFrame%60%20object%20with%0A%20%20%20%20%20%20%20%20columns%20containing%20the%20coordinates%20of%20each%20vertex%20of%20the%20leg%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20each%20row%20representing%20an%20animation%20frame.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20leg%3A%20list%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20edge%20lengths%20of%20the%20leg%20(in%20the%20order%20described%20in%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%60INITIAL_LEG%60).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pandas.DataFrame%20%7C%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20coordinates%20of%20each%20vertex%20for%20each%20animation%20frame.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20If%20the%20%60leg%60%20configuration%20fails%20to%20produce%20a%20a%20*complete*%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20set%20of%20vertices%20for%20*each*%20frame%2C%20nothing%20is%20returned%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(and%20the%20leg%20configuration%20is%20invalid).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frames%20%3D%20pd.DataFrame(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xA%22%3A%20np.zeros(n_frames())%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22yA%22%3A%20np.zeros(n_frames())%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xB%22%3A%20B%5B%3A%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22yB%22%3A%20B%5B%3A%2C%201%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xC%22%3A%20np.zeros(n_frames())%2C%20%20%23%20dummy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22yC%22%3A%20np.zeros(n_frames())%2C%20%20%23%20dummy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xD%22%3A%20np.zeros(n_frames())%2C%20%20%23%20dummy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22yD%22%3A%20np.zeros(n_frames())%2C%20%20%23%20dummy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xE%22%3A%20np.zeros(n_frames())%2C%20%20%23%20dummy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22yE%22%3A%20np.zeros(n_frames())%2C%20%20%23%20dummy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xF%22%3A%20np.zeros(n_frames())%2C%20%20%23%20dummy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22yF%22%3A%20np.zeros(n_frames())%2C%20%20%23%20dummy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xG%22%3A%20np.zeros(n_frames())%2C%20%20%23%20dummy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22yG%22%3A%20np.zeros(n_frames())%2C%20%20%23%20dummy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xH%22%3A%20np.zeros(n_frames())%2C%20%20%23%20dummy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22yH%22%3A%20np.zeros(n_frames())%2C%20%20%23%20dummy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20n%20in%20range(n_frames())%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20point%20C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.iloc%5Bn%2C%204%5D%2C%20frames.iloc%5Bn%2C%205%5D%20%3D%20point_from(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.xA%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.yA%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.xB%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.yB%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leg%5B0%5D%2C%20%20%23%20AC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leg%5B4%5D%2C%20%20%23%20BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20point%20D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.iloc%5Bn%2C%206%5D%2C%20frames.iloc%5Bn%2C%207%5D%20%3D%20point_from(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.xA%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.yA%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.xC%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.yC%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leg%5B1%5D%2C%20%20%23%20AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leg%5B6%5D%2C%20%20%23%20CD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20point%20E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.iloc%5Bn%2C%208%5D%2C%20frames.iloc%5Bn%2C%209%5D%20%3D%20point_from(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.xA%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.yA%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.xD%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.yD%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leg%5B2%5D%2C%20%20%23%20AE%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leg%5B7%5D%2C%20%20%23%20DE%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20point%20F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.iloc%5Bn%2C%2010%5D%2C%20frames.iloc%5Bn%2C%2011%5D%20%3D%20point_from(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.xA%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.yA%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.xB%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.yB%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leg%5B3%5D%2C%20%20%23%20AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leg%5B5%5D%2C%20%20%23%20BF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20point%20G%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.iloc%5Bn%2C%2012%5D%2C%20frames.iloc%5Bn%2C%2013%5D%20%3D%20point_from(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.xE%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.yE%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.xF%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.yF%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leg%5B8%5D%2C%20%20%23%20EG%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leg%5B10%5D%2C%20%20%23%20FG%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20point%20H%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.iloc%5Bn%2C%2014%5D%2C%20frames.iloc%5Bn%2C%2015%5D%20%3D%20point_from(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.xE%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.yE%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.xG%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.yG%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leg%5B9%5D%2C%20%20%23%20EH%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20leg%5B11%5D%2C%20%20%23%20GH%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Check%20and%20only%20return%20complete%20frames%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20None%20if%20frames.isna().sum().sum()%20%3E%200%20else%20frames%0A%20%20%20%20return%20(construct_frames%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20key%20for%20this%20construction%20is%20the%20strategic%20computation%20of%20the%20coordinates%20of%20a%20point%20based%20on%20(the)%20two%20connected%20ones%20and%20the%20distances%20(edge%20lengths)%20of%20the%20desired%20one%20from%20those%20via%20the%20function%20%60point_from()%60.%0A%20%20%20%20%60point_from()%60%20itself%20is%20a%20wrapper%20that%20checks%20_whether_%20it's%20given%20a%20full%20set%20of%20arguments%20for%20the%20construction%20(since%2C%20as%20you%20may%20notice%20from%20looking%20at%20how%20the%20successive%20construction%20of%20points%20in%20%60construct_frames()%60%20works%2C%20it%20is%20not%20always%20guaranteed%20that%20the%20function%20acutally%20_sees_%20valid%20points%20to%20begin%20with).%0A%20%20%20%20It%20also%20consumes%20an%20optional%20argument%20%60preferred_index%60%3B%0A%20%20%20%20What%20we%20are%20looking%20at%20is%20the%20problem%20of%20two%20(potentially)%20intersecting%20circles%2C%20which%20can%20have%20no%2C%20one%20or%20two%20solutions.%0A%20%20%20%20The%20%60preferred_index%60%20is%20just%20a%20shorthand%20for%20which%20one%20to%20return%2C%20since%20we%20only%20want%20one%20for%20our%20leg%20from%20each%20computation%20(if%20there%20is%20one).%0A%20%20%20%20And%20that%20index%20is%20the%20same%20every%20time%20for%20each%20point%20on%20the%20leg%20(unless%2C%20due%20to%20a%20weird%20configuration%20of%20edge%20lengths%2C%20a%20vertex%20happens%20to%20cross%20an%20edge%3B%20this%20can%20lead%20to%20a%20weird%20%22flip%22%20of%20points%20in%20the%20animation%2C%20but%20should%20not%20occur%20for%20a%20%22real%22%20solution%20to%20our%20problem).%0A%20%20%20%20The%20intersection-of-two-circles%20problem%20is%20delegated%20to%20the%20function%20%60possible_points()%60%20internally.%0A%20%20%20%20And%20%60point_from()%60%20returns%3Cbr%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20a%20tuple%20%60(None%2C%20None)%60%20if%20any%20of%20its%20arguments%20is%20%60None%60%2C%3Cbr%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20the%20intersection%20point%20of%20the%20two%20circles%20if%20there%20is%20only%20one%2C%20or%3Cbr%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20the%20solution%20specified%20by%20the%20%60preferred_index%60%20if%20there%20are%20two%20solutions.%3Cbr%2F%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20possible_points)%3A%0A%20%20%20%20def%20point_from(x0%2C%20y0%2C%20x1%2C%20y1%2C%20d0%2C%20d1%2C%20preferred_index%3D0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20a%20point%20with%20distance%20%60d0%60%20from%20(%60x0%60%2C%20%60y0%60)%20and%20distance%20%60d1%60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20(%60x1%60%2C%20%60y1%60).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x0%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20x%20coordinate%20of%20the%20first%20point.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y0%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20y%20coordinate%20of%20the%20first%20point.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x1%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20x%20coordinate%20of%20the%20second%20point.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y1%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20y%20coordinate%20of%20the%20second%20point.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d0%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20distance%20of%20the%20desired%20point%20from%20(%60x0%60%2C%20%60y0%60).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d1%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20distance%20of%20the%20desired%20point%20from%20(%60x1%60%2C%20%60y1%60).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20preferred_index%3A%200%20%7C%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20preferred%20index%20of%20the%20intersecting-circles%20solution%2C%20if%20there%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20are%20multiple.%20The%20value%20is%20ignored%20if%20there%20is%20either%20just%20one%20or%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20none%20at%20all.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tuple%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20coordinates%20of%20the%20point%20with%20distance%20%60d0%60%20from%20(%60x0%60%2C%20%60y0%60)%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20distance%20%60d1%60%20from%20(%60x1%60%2C%20%60y1%60).%20If%20the%20intersecting-circles%20problem%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20the%20specified%20case%20has%20no%20solution%2C%20the%20tuple%20will%20be%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%60(None%2C%20None)%60.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.any(%5B_arg%20is%20None%20for%20_arg%20in%20(x0%2C%20y0%2C%20x1%2C%20y1%2C%20d0%2C%20d1)%5D)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20None%2C%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ps%20%3D%20possible_points(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20d0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20d1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ps%5Bmin(len(ps)%20-%201%2C%20preferred_index)%5D%20if%20len(ps)%20%3E%200%20else%20(None%2C%20None)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(point_from%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Finding%20the%20intersecting%20points%20of%20two%20circles%20is%20a%20simple%20geometric%20exercise%2C%20especially%20if%20the%20first%20point%20was%20located%20in%20the%20coordinate%20system's%20orgin%2C%20and%20the%20second%20one%20on%20the%20%24x%24%20axis%20itself.%0A%20%20%20%20We%20construct%20this%20scenario%20by%20interpreting%20the%20coordinates%20%24(x_0%2C%20y_0)%24%20of%20the%20first%20point%20as%20a%20_transation_%20that%20we%20need%20to%20perform%20for%20our%20result%2C%20and%20the%20distance%20vector%20%24%5Cvec%20D%20%3D%20%7B%7D%5Et(x_1%20-%20x_0%2C%20y_1%20-%20y_0)%24%20from%20%24(x_0%2C%20y_0)%24%20to%20%24(x_1%2C%20y_1)%24%20as%20the%20charactistic%20vector%20that%20describes%20the%20relative%20position%20of%20the%20centre%20of%20the%20second%20point%20from%20the%20first.%0A%20%20%20%20It%20has%20an%20_angle_%20%24%5Cvarphi%24%20with%20respect%20to%20the%20%24x%24%20axis%20that%20we%20need%20to%20transform%20before%20applying%20some%20straight-forward%20geometry%20and%20Pythagoras%20to%20find%20our%20solution(s).%0A%20%20%20%20Once%20the%20point%20is%2F%20points%20are%20computed%2C%20the%20rotation%20is%20reverted%20and%20the%20silent%20translation%20from%20the%20beginning%20is%20applied.%0A%0A%20%20%20%20Luckily%2C%20%60numpy%60%20provides%20us%20with%20all%20the%20linear%20algebra%20and%20trigonometry%20functionality%20we%20need.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(angle%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20def%20possible_points(x0%2C%20y0%2C%20x1%2C%20y1%2C%20d0%2C%20d1)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20a%20list%20of%20possible%20points%20with%20distance%20%60d0%60%20from%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%60x0%60%2C%20%60y0%60)%20and%20distance%20%60d1%60%20from%20(%60x1%60%2C%20%60y1%60).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x0%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20x%20coordinate%20of%20the%20first%20point.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y0%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20y%20coordinate%20of%20the%20first%20point.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x1%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20x%20coordinate%20of%20the%20second%20point.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y1%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20y%20coordinate%20of%20the%20second%20point.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d0%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20distance%20from%20the%20first%20point.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d1%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20distance%20from%20the%20second%20point.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20list(tuple)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20list%20of%20points%20that%20satisfy%20the%20criteria.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20list%20can%20have%20zero%2C%20one%20or%20two%20distinct%20elements.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Construct%20points%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p0%2C%20p1%20%3D%20np.array(%5Bx0%2C%20y0%5D)%2C%20np.array(%5Bx1%2C%20y1%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20vecD%20%3D%20p1%20-%20p0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20D%20%3D%20np.linalg.norm(vecD)%20%20%23%20absolute%20distance%20between%20p0%20and%20p1%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Check%20for%20trivial%20solutions%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20D%20%3E%20d0%20%2B%20d1%20or%20max(d0%2C%20d1)%20%3E%20D%20%2B%20min(d0%2C%20d1)%3A%20%20%23%20no%20solution%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20D%20%3D%3D%20d0%20%2B%20d1%20or%20max(d0%2C%20d1)%20%3D%3D%20D%20%2B%20min(d0%2C%20d1)%3A%20%20%23%20one%20solution%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5Bp0%20%2B%20d0%20%2F%20D%20*%20vecD%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20else%3A%20(What%20we%20are%20actually%20interested%20in)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phi%20%3D%20angle(vecD)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20c%2C%20s%20%3D%20np.cos(phi)%2C%20np.sin(phi)%20%20%23%20for%20rotations%0A%20%20%20%20%20%20%20%20R%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%20%20%23%20Rotation%20matrix%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bc%2C%20-s%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bs%2C%20c%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Circle%20intersection%20coordinates%20if%20p0%20was%20at%20origin%20and%20p1%20was%20rotated%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20onto%20the%20x-axis%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_%20%3D%20(d0**2.0%20-%20d1**2.0%20%2B%20D**2.0)%20%2F%20(2.0%20*%20D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_%20%3D%20np.sqrt(d0**2.0%20-%20x_**2.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20this%20gives%20us%20the%20two%20points%20(2%20intersections)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20X%20%3D%20%5Bnp.array(%5Bx_%2C%20y_%5D)%2C%20np.array(%5Bx_%2C%20-y_%5D)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20those%20need%20to%20be%20transformed%20(%22back%22)%20to%20our%20actual%20coordinate%20system%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5Bp0%20%2B%20np.dot(R%2C%20point)%20for%20point%20in%20X%5D%0A%20%20%20%20return%20(possible_points%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22Now%2C%20the%20construction%20of%20the%20%60angle()%60%20function%20is%20a%20bit%20more%20involved%20than%20just%20calling%20%60np.atan()%60%2C%20since%20we%20need%20to%20carefully%20identify%20the%20correct%20quadrant%20of%20the%20%24%5Ctan()%24%20function%20and%20make%20adjustments%20as%20necessary%3A%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20angle(p)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20the%20angle%20(in%20radiants)%20of%20a%20given%202D%20vector%20with%0A%20%20%20%20%20%20%20%20respect%20to%20the%20x%20axis.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20p%3A%20tuple%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%202D%20vector.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20angle%20in%20radiants.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%2C%20y%20%3D%20p%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20x%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.pi%20%2F%202.0%20*%20np.sign(y)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a%20%3D%20np.atan(y%20%2F%20x)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20x%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.pi%20%2B%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20y%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%202.0%20*%20np.pi%20%2B%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20a%0A%20%20%20%20return%20(angle%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22Finally%2C%20we%20have%20everything%20we%20need%20to%20construct%20the%20animation%20frames%20from%20the%20%60INITIAL_LEG%60%20and%20store%20it%20in%20a%20variable%20(%60POINTS%60)%20for%20illustration%3A%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(INITIAL_LEG%2C%20construct_frames)%3A%0A%20%20%20%20%23%20All%20points%20for%20a%20leg%20constructed%20with%20the%20given%20edge%20lengths.%0A%20%20%20%20POINTS%20%3D%20construct_frames(list(INITIAL_LEG.values()))%0A%20%20%20%20return%20(POINTS%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20In%20order%20to%20transform%20that%20%60pandas.DataFrame%60%20object%20into%20a%20gif%2C%20we%20need%20a%20few%20more%20steps%20and%20auxiliary%20functions.%0A%0A%20%20%20%20First%2C%20we%20need%20to%20transform%20a%20the%20coordinates%20from%20that%20cartesian%20coordinate%20system%20that%20we%20were%20using%20so%20far%20into%20the%20coordinates%20of%20an%20object%20in%20an%20image%20or%20on%20screen.%0A%20%20%20%20Note%20that%20image%20and%20screen%20coordinate%20systems%20are%20left-handed%20(meaning%20that%20a%20positive%20%24y%24%20value%20points%20_downwards_)%2C%20and%20the%20origin%20is%20located%20in%20the%20top%20right%20corner.%0A%0A%20%20%20%20The%20function%20%60on_canvas()%60%20takes%20care%20of%20this%20transformation%20with%20respect%20to%20the%20initially%20defined%20dimensions%20for%20our%20animations%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(HEIGHT%2C%20WIDTH)%3A%0A%20%20%20%20def%20on_canvas(x%2C%20y%2C%20translate%3D(WIDTH%20%2F%202%2C%20HEIGHT%20%2F%202)%2C%20scale%3DWIDTH%20%2F%2020)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20the%20screen%20coordinates%20for%20the%20cartesian%20ones%20%60x%60%20and%20%60y%60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20by%20applying%20a%20translation%20and%20a%20scaling%20on%20top%20of%20the%20flip%20of%20the%20y%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20cartesian%20x%20coordinate.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20cartesian%20y%20coordinate.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20translate%3A%20tuple%2C%20default%3A%20(WIDTH%2F2%2C%20HEIGHT%2F2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20translation%20to%20apply%20on%20the%20screen%20coordinates.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20scale%3A%20float%2C%20default%3A%20WIDTH%2F20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20scaling%20to%20apply%20on%20the%20screen%20coordinates.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tuple%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20screen%20coordinates.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20scale%20*%20x%20%2B%20translate%5B0%5D%2C%20-scale%20*%20y%20%2B%20translate%5B1%5D%0A%20%20%20%20return%20(on_canvas%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22With%20that%20taken%20care%20of%2C%20we%20can%20define%20a%20function%20that%20consumes%20some%20cartesian%20coordinates%2C%20alongside%20some%20aesthetic%20parameters%20and%20a%20%60PIL.ImageDraw.Draw%60%20object%2C%20to%20draw%20a%20point%20on%20an%20image%3A%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(COLORS%2C%20FONT%2C%20circle_corners%2C%20on_canvas)%3A%0A%20%20%20%20def%20draw_point(x%2C%20y%2C%20point_color%2C%20label%2C%20draw%2C%20**kwarg)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Uses%20the%20%60draw%60%20object%20to%20draw%20a%20point%20with%20given%20%60point_color%60%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20a%20%60label%60%20at%20the%20given%20location%20on%20the%20canvas.%20%20The%20cartesian%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coordinates%20%60x%60%20and%20%60y%60%20are%20converted%20into%20canvas%20coordinates%20using%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%60on_canvas()%60.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20x%20coordinate%20of%20the%20point%20to%20be%20drawn.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20y%20coordinate%20of%20the%20point%20to%20be%20drawn.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20point_color%3A%20str%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20color%20of%20the%20point%20to%20be%20drawn.%20(Name%20or%20hex%20code.)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3A%20str%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20label%20of%20the%20point%20to%20be%20drawn.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20draw%3A%20PIL.ImageDraw.Draw%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20object%20through%20which%20to%20draw%20the%20point.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**kwarg%3A%20dict%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Further%20specifications%20that%20are%20directly%20passed%20to%20%60on_canvas()%60.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_%2C%20y_%20%3D%20on_canvas(x%2C%20y%2C%20**kwarg)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20draw.ellipse(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3Dcircle_corners((x_%2C%20y_))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3Dpoint_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20draw.text(xy%3D(x_%2C%20y_)%2C%20text%3Dlabel%2C%20font%3DFONT%2C%20fill%3DCOLORS%5B4%5D)%0A%20%20%20%20return%20(draw_point%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Later%20versions%20of%20%60PIL%60%20contain%20a%20%60PIL.ImageDraw.Draw.circle()%60%20method%20that%20consumes%20a%20center%20coordinate%20and%20a%20radius.%0A%20%20%20%20For%20earlier%20versions%2C%20however%2C%20one%20is%20restricted%20to%20the%20%60PIL.ImageDraw.Draw.ellipse()%60%20function%20that%20consumes%20the%20top%20left%20and%20lower%20right%20coordinate%20of%20the%20bounding%20box%20of%20the%20ellipse%20instead.%0A%20%20%20%20To%20that%20end%2C%20the%20auxiliary%20function%20%60circle_corners()%60%20is%20used%20to%20compute%20those%20coordinates%20from%20a%20point's%20coordinates%2C%20and%20the%20radius%20is%20specified%20here%20as%20the%20%60POINT_SIZE%60%20constant%20at%20the%20top%20of%20this%20notebook%20by%20default.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(POINT_SIZE)%3A%0A%20%20%20%20def%20circle_corners(canvas_point%2C%20radius%3DPOINT_SIZE)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20the%20top%20left%20and%20lower%20right%20coordinates%20of%20the%20bounding%0A%20%20%20%20%20%20%20%20box%20of%20a%20circle%20with%20center%20%60canvas_point%60%20and%20radius%20%60radius%60.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20canvas_point%3A%20tuple%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20coordinates%20of%20the%20center%20of%20the%20point%20on%20the%20canvas.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20radius%3A%20float%2C%20default%3A%20POINT_SIZE%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20radius%20with%20which%20to%20render%20the%20point%20(in%20pixels).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20list(tuple)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Two%20points%20on%20the%20canvas%20to%20be%20used%20as%20bounding%20box.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%2C%20y%20%3D%20canvas_point%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5B(x%20-%20radius%2C%20y%20-%20radius)%2C%20(x%20%2B%20radius%2C%20y%20%2B%20radius)%5D%0A%20%20%20%20return%20(circle_corners%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20I%20don't%20bother%20writing%20a%20function%20to%20draw%20lines%20explicitly%2C%20because%20it%20would%20end%20up%20being%20literally%20only%20a%20wrapper%20for%20the%20already%20available%20function%20%60PIL.DrawImage.Draw.line()%60%20without%20any%20adjustments%20additions.%0A%0A%20%20%20%20So%20instead%2C%20we%20now%20combine%20the%20pieces%20into%20a%20%60draw_leg()%60%20function%20that%20shall%20consume%20a%20row%20from%20an%20animation%20frames%20(%60pandas.DataFrame%60%20object)%20and%20a%20%60PIL.DrawImage.Draw%60%20object%2C%20and%20draws%20the%20full%20leg.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(COLORS%2C%20LINE_WIDTH%2C%20draw_point%2C%20on_canvas)%3A%0A%20%20%20%20def%20draw_leg(row%2C%20draw%2C%20**kwarg)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Draw%20a%20leg%20using%20the%20given%20coordinates.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row%3A%20pandas.Series%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20row%20in%20an%20animation%20frames%20data%20frame.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20draw%3A%20PIL.ImageDraw.Draw%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20drawing%20object.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**kwarg%3A%20dict%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Additional%20parameters%20passed%20to%20the%20%60on_canvas()%60%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%60draw_point()%60%20functions.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Unpack%20(only%20for%20code%20readability)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5BxA%2C%20yA%2C%20xB%2C%20yB%2C%20xC%2C%20yC%2C%20xD%2C%20yD%2C%20xE%2C%20yE%2C%20xF%2C%20yF%2C%20xG%2C%20yG%2C%20xH%2C%20yH%5D%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20row.to_list()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edges%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bon_canvas(xA%2C%20yA%2C%20**kwarg)%2C%20on_canvas(xC%2C%20yC%2C%20**kwarg)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bon_canvas(xA%2C%20yA%2C%20**kwarg)%2C%20on_canvas(xD%2C%20yD%2C%20**kwarg)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bon_canvas(xA%2C%20yA%2C%20**kwarg)%2C%20on_canvas(xE%2C%20yE%2C%20**kwarg)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bon_canvas(xA%2C%20yA%2C%20**kwarg)%2C%20on_canvas(xF%2C%20yF%2C%20**kwarg)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bon_canvas(xB%2C%20yB%2C%20**kwarg)%2C%20on_canvas(xC%2C%20yC%2C%20**kwarg)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bon_canvas(xB%2C%20yB%2C%20**kwarg)%2C%20on_canvas(xF%2C%20yF%2C%20**kwarg)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bon_canvas(xC%2C%20yC%2C%20**kwarg)%2C%20on_canvas(xD%2C%20yD%2C%20**kwarg)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bon_canvas(xD%2C%20yD%2C%20**kwarg)%2C%20on_canvas(xE%2C%20yE%2C%20**kwarg)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bon_canvas(xE%2C%20yE%2C%20**kwarg)%2C%20on_canvas(xG%2C%20yG%2C%20**kwarg)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bon_canvas(xE%2C%20yE%2C%20**kwarg)%2C%20on_canvas(xH%2C%20yH%2C%20**kwarg)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bon_canvas(xF%2C%20yF%2C%20**kwarg)%2C%20on_canvas(xG%2C%20yG%2C%20**kwarg)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bon_canvas(xG%2C%20yG%2C%20**kwarg)%2C%20on_canvas(xH%2C%20yH%2C%20**kwarg)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20edge%20in%20edges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20draw.line(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3Dedge%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20width%3DLINE_WIDTH%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3DCOLORS%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20draw_point(xA%2C%20yA%2C%20COLORS%5B0%5D%2C%20%22A%22%2C%20draw%2C%20**kwarg)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20draw_point(xB%2C%20yB%2C%20COLORS%5B3%5D%2C%20%22B%22%2C%20draw%2C%20**kwarg)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20draw_point(xC%2C%20yC%2C%20COLORS%5B2%5D%2C%20%22C%22%2C%20draw%2C%20**kwarg)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20draw_point(xD%2C%20yD%2C%20COLORS%5B2%5D%2C%20%22D%22%2C%20draw%2C%20**kwarg)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20draw_point(xE%2C%20yE%2C%20COLORS%5B2%5D%2C%20%22E%22%2C%20draw%2C%20**kwarg)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20draw_point(xF%2C%20yF%2C%20COLORS%5B2%5D%2C%20%22F%22%2C%20draw%2C%20**kwarg)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20draw_point(xG%2C%20yG%2C%20COLORS%5B2%5D%2C%20%22G%22%2C%20draw%2C%20**kwarg)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20draw_point(xH%2C%20yH%2C%20COLORS%5B2%5D%2C%20%22H%22%2C%20draw%2C%20**kwarg)%0A%20%20%20%20return%20(draw_leg%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22And%20finally%2C%20by%20using%20this%20function%20for%20every%20frame%20of%20a%20leg%2C%20we%20can%20build%20the%20full%20gif%20and%20display%20it%20in%20the%20notebook%3A%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20BytesIO%2C%0A%20%20%20%20COLORS%2C%0A%20%20%20%20HEIGHT%2C%0A%20%20%20%20Image%2C%0A%20%20%20%20ImageDraw%2C%0A%20%20%20%20WIDTH%2C%0A%20%20%20%20base64%2C%0A%20%20%20%20circle_corners%2C%0A%20%20%20%20draw_leg%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20on_canvas%2C%0A%20%20%20%20with_trace%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20def%20visualise_frames(frames)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Create%20and%20render%20a%20GIF%20from%20the%20given%20frames.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frames%3A%20pandas.DataFrame%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20coordinates%20of%20each%20point%20of%20a%20leg%20as%20columns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20each%20frame%20(represented%20as%20a%20row).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marimo.Html%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20An%20object%20that%20renders%20a%20GIF%20inside%20the%20notebook.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Create%20actual%20image%20frames%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frames_%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Image.new(%22RGB%22%2C%20(WIDTH%2C%20HEIGHT)%2C%20COLORS%5B1%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(len(frames))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Create%20a%20draw%20object%20for%20each%20frame%0A%20%20%20%20%20%20%20%20draw%20%3D%20%5BImageDraw.Draw(frame)%20for%20frame%20in%20frames_%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Track%20the%20trace%20of%20point%20H%20in%20case%20it's%20to%20be%20displayed%20as%20well%0A%20%20%20%20%20%20%20%20trace_path%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Note%3A%20pull%20the%20leg%20up%20a%20bit%20before%20the%20crop%3B%20that's%20what%20the%20-80%20does%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20on_canvas(x%2C%20y%2C%20translate%3D(WIDTH%20%2F%202%2C%20HEIGHT%20%2F%202%20-%2080))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20x%2C%20y%20in%20frames%5B%5B%22xH%22%2C%20%22yH%22%5D%5D.to_numpy()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Draw%20the%20leg%20on%20each%20frame%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20n%20in%20range(len(frames))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20motor%20circle%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20draw%5Bn%5D.ellipse(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3Dcircle_corners(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20on_canvas(2.5%2C%201%2C%20translate%3D(WIDTH%20%2F%202%2C%20HEIGHT%20%2F%202%20-%2080))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20radius%3DWIDTH%20%2F%2020%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3DNone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20outline%3DCOLORS%5B0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20with_trace.value%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20draw%5Bn%5D.polygon(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3Dtrace_path%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fill%3DNone%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20outline%3DCOLORS%5B2%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20draw_leg(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames.iloc%5Bn%2C%20%3A%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20draw%5Bn%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20translate%3D(WIDTH%20%2F%202%2C%20HEIGHT%20%2F%202%20-%2080)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Crop%20the%20frames%0A%20%20%20%20%20%20%20%20final%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frame.crop((WIDTH%20%2F%205%2C%20HEIGHT%20%2F%2010%2C%204%20*%20WIDTH%20%2F%205%2C%209%20*%20HEIGHT%20%2F%2010))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20frame%20in%20frames_%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20To%20display%20the%20gif%20inside%20the%20notebook%2C%20we%20need%20to%20generate%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20a%20HTML%20representation%3B%20start%20with%20setting%20up%20a%20buffer%0A%20%20%20%20%20%20%20%20with%20BytesIO()%20as%20buffer%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20final%5B0%5D.save(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20buffer%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20format%3D%22GIF%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20save_all%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20append_images%3Dfinal%5B1%3A%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20duration%3D60%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20loop%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20buffer.seek(0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gif_data%20%3D%20base64.b64encode(buffer.read()).decode(%22utf-8%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20html%20%3D%20f'%3Cimg%20src%3D%22data%3Aimage%2Fgif%3Bbase64%2C%7Bgif_data%7D%22%2F%3E'%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Wrap%20the%20HTML%20into%20a%20%60marimo.Html%60%20object%20and%20return%20it.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.Html(html)%0A%20%20%20%20return%20(visualise_frames%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Earlier%2C%20I%20mentioned%20that%20we%20are%20interested%20in%20the%20trace%20of%20point%20%24H%24%20of%20a%20leg.%0A%20%20%20%20For%20the%20initial%20illustration%2C%20it%20might%20be%20a%20good%20idea%20to%20hide%20it%20at%20first%2C%20but%20display%20it%20later%20on%20demand.%0A%20%20%20%20To%20that%20end%2C%20we%20can%20define%20a%20single%2C%20simple%20(non-synchronised)%20control%20in%20one%20swoop%3A%0A%20%20%20%20a%20%60marimo.ui.switch()%60%20with%20a%20boolean%20%60value%60%20attribute%20that%20we%20can%20access%20(read%2C%20not%20set!)%20later.%0A%20%20%20%20(If%20you%20define%20controls%20like%20this%2C%20without%20a%20state%2C%20you%20can%20manipulate%20their%20current%20values%20*only*%20through%20the%20control%20itself.)%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20with_trace%20%3D%20mo.ui.switch()%0A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Show%20trace%20in%20GIF%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20with_trace%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20widths%3D%5B3%2C%2010%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(with_trace%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20In%20fact%2C%20it%20might%20be%20a%20good%20idea%20to%20activate%20it%20now.%0A%20%20%20%20It%20will%20trigger%20the%20re-rendering%20of%20all%20the%20gifs%2C%20which%20takes%20a%20few%20seconds.%0A%20%20%20%20But%20seeing%20the%20trace%20is%20going%20to%20be%20useful%20for%20the%20visualising%20the%20progress%20of%20the%20genetic%20algorithm%20that%20we%20will%20dive%20into%20next.%0A%0A%20%20%20%20%23%20The%20genetic%20algorithm%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Evaluation%20function%20(%60fitness()%60)%0A%0A%20%20%20%20So%20far%2C%20we%20are%20able%20to%20produce%20a%20full%20animation%20based%20on%20a%20single%20%60leg%60%20configuration.%0A%20%20%20%20What%20we%20need%20next%20is%20the%20ability%20to%20evaluate%20a%20leg%20to%20get%20a%20metric%20by%20which%20we%20can%20measure%20its%20quality.%0A%20%20%20%20Various%20criteria%20come%20to%20mind%2C%20such%20as%20a%20nicely%20smooth%20and%20plane%20%22sole%22%20of%20the%20trace%20of%20%24H%24%20so%20the%20creature's%20walk%20is%20steady.%0A%20%20%20%20Furthermore%2C%20it%20could%20raise%20its%20leg%20high%20to%20avoid%20obstacles%20in%20its%20path.%0A%20%20%20%20Other%20criteria%20could%20be%20speed%20or%20energy%20efficiency.%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20purpose%20of%20this%20demo%2C%20we%20will%20focus%20on%20the%20former%20criterium%20_exclusively_%3A%20a%20smooth%20walk.%0A%20%20%20%20Once%20this%20is%20in%20place%2C%20adding%20some%20complexity%20to%20the%20%60fitness()%60%20function%20is%20an%20easy%20exercise%20for%20the%20reader.%0A%0A%20%20%20%20So%20what%20we%20need%20to%20do%20is%20to%20take%20the%20full%20path%20of%20%24H%24%20and%20split%20it%20into%20a%20forward-%20and%20a%20backward-directed%20segment.%0A%20%20%20%20Generally%2C%20those%20segments%20do%20not%20contain%20the%20same%20number%20of%20points%2C%20since%20the%20leg%20transitions%20through%20them%20at%20different%20rates.%0A%20%20%20%20We%20further%20assume%20that%20the%20path%20is%20a%20closed%20loop%20with%20a%20smooth%20edge.%0A%20%20%20%20To%20be%20perfectly%20honest%2C%20though%2C%20that%20last%20bit%20is%20quite%20a%20stretch%2C%20as%20configurations%20can%20(and%20will)%20pop%20up%20where%20the%20leg%20_snaps_%20weirdly%2C%20which%20violates%20that%20assumption.%0A%20%20%20%20This%20happens%20particularly%20reliably%20for%20configurations%20in%20which%20the%20point%20%24E%24%20gets%20pushed%20past%20%24F%24.%0A%20%20%20%20But%20as%20we%20can%20see%20if%20we%20jump%20ahead%20and%20look%20at%20a%20few%20illustrations%2C%20the%20algorithm%20appears%20to%20disfavour%2F%20grow%20away%20from%20such%20tendencies.%0A%0A%20%20%20%20We%20implement%20segmentation%20in%20a%20very%20simple%2C%20straight-forward%20way%3A%20splitting%20and%20recombining%20the%20path%20of%20%24H%24%20into%20a%20series%20of%20points%20with%20growing%20%24x%24%20coordinate%20(forward%20movement)%2C%20and%20one%20with%20shrinking%20%24x%24%20coordinate%20(backward%20movement).%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20segments(points)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Returns%20the%20two%20segments%20of%20the%20trace%20of%20point%20H.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20points%3A%20pandas.DataFrame%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20coordinates%20of%20for%20all%20animation%20frames.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tuple(Array%2C%20Array)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20two%20segments%2C%20with%20the%20first%20being%20the%20forward%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20movement%20and%20the%20second%20the%20reverse%20movement.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%2C%20y%20%3D%20points%5B%5B%22xH%22%2C%20%22yH%22%5D%5D.to_numpy().T%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Find%20indices%20where%20x%20changes%20direction%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d%20%3D%20np.roll(x%2C%201)%20-%20x%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%20%3D%20np.sign(d)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20split%20%3D%20np.nonzero(np.roll(s%2C%201)%20-%20s)%5B0%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Rearrange%20the%20pieces%20into%20two%20split%20paths%0A%20%20%20%20%20%20%20%20first%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%5Bsplit%5B0%5D%20-%201%20%3A%20split%5B1%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%5Bsplit%5B0%5D%20-%201%20%3A%20split%5B1%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20second%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.append(x%5Bsplit%5B1%5D%20-%201%20%3A%5D%2C%20x%5B%3A%20split%5B0%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.append(y%5Bsplit%5B1%5D%20-%201%20%3A%5D%2C%20y%5B%3A%20split%5B0%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Return%20the%20two%20segments%20according%20to%20their%20direction%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(first%2C%20second)%20if%20first%5B0%2C%200%5D%20%3C%20second%5B0%2C%200%5D%20else%20(second%2C%20first)%0A%20%20%20%20return%20(segments%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20We%20can%20then%20associate%20the%20_smoothness_%20of%20the%20forward-moving%20segment%20with%20a%20low%20curvature.%0A%20%20%20%20The%20_curvature_%20is%20simply%20its%20second%20derivative.%0A%20%20%20%20Since%20we%20could%20describe%20the%20curve%20in%20parameter%20representation%20using%20the%20angle%20%24%5Cvartheta%24%20that%20we%20introduced%20in%20the%20very%20beginning.%0A%20%20%20%20And%20since%20the%20values%20of%20it%20in%20the%20array%20%60theta%60%20are%20equidistantly%20spaced%2C%20differentiation%20here%20boils%20down%20to%20just%20simple%20differencing.%0A%20%20%20%20We%20store%20the%20derivative%20in%20%60d2_r%60%20first%2C%20which%20is%20a%202D%20array%20consisting%20of%20%24x%24%20and%20%24y%24%20coordinates%2C%20before%20computing%20the%20%60curvature%60%20as%20the%20vector%20norms%20in%20each%20point.%0A%20%20%20%20And%20finally%2C%20to%20reduce%20it%20to%20a%20single%20scalar%20value%20for%20our%20optimisation%20algorithm%2C%20we%20return%20the%20area%20under%20the%20curvature%20as%20the%20metric%20to%20be%20optimised%3B%20the%20smaller%20the%20curvature%2C%20the%20smaller%20the%20area%20and%20thus%20the%20smoother%20the%20walk.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20eval(path)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20a%20numeric%20representation%20of%20the%20quality%20of%20the%20given%20path.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20path%3A%20Array%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20x%20and%20y%20coordinates%20of%20the%20points%20on%20the%20path.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20non-negative%20number%20representing%20the%20quality%20of%20the%20path.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Second%20derivative%20of%20the%20path%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d2_r%20%3D%20(path%20-%202%20*%20np.roll(path%2C%20-1%2C%20axis%3D1)%20%2B%20np.roll(path%2C%20-2%2C%20axis%3D1))%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3A%2C%20%3A-2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Curvature%20is%20the%20norm%20of%20the%20vector%0A%20%20%20%20%20%20%20%20curvature%20%3D%20np.linalg.norm(d2_r%2C%20axis%3D0)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Our%20evaluation%20is%20the%20%22area%22%20under%20the%20curvature%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20sum(curvature)%0A%20%20%20%20return%20(eval%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20%60fitness()%60%20function%20should%20then%20be%20a%20wrapper%20that%20consumes%20an%20entire%20set%20of%20leg%20points%20(the%20animation%20frames)%20and%20returns%20the%20evaluation%20of%20the%20segmented%20trace%20of%20%24H%24.%0A%20%20%20%20(Note%20that%20typically%20the%20%60fitness()%60%20function%20_should_%20consume%20the%20%60chromosome%60%2C%20which%20is%20the%20edge%20lengths%20for%20a%20leg%20in%20our%20case.%0A%20%20%20%20But%20that%20would%20result%20in%20a%20duplicate%20computation%20of%20the%20animation%20frames%20again%2C%20so%20we%20avoid%20that%20here%20and%20feed%20it%20the%20frames%20directly.)%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(eval%2C%20segments)%3A%0A%20%20%20%20def%20fitness(frames)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20the%20fitness%20of%20a%20leg%20by%20evaluating%20the%20points%20it%20moves%20through.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frames%3A%20pandas.DataFrame%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20animation%20frames%20constructed%20from%20the%20leg.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20non-negative%20number%20representing%20the%20smoothness%20of%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20forward-directed%20section%20of%20the%20trace%20of%20point%20H%20(the%20wrist%2F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ankle).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20eval(segments(frames)%5B0%5D)%0A%20%20%20%20return%20(fitness%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Algorithm%20steps%0A%0A%20%20%20%20Next%2C%20we%20look%20at%20the%20steps%20of%20the%20genetic%20algorithm.%0A%20%20%20%20They%20consist%20of%20_initialisation_%2C%20_selection%20of%20parents_%2C%20and%20then%20the%20generation%20of%20_offspring_%20through%20_crossover_%20(or%20_recombination_)%20and%20_mutation_.%0A%0A%20%20%20%20Initialisation%20is%20simple%3A%20we%20can%20use%20our%20%60INITIAL_LEG%60%20and%20create%20some%20random%20variations%20of%20it%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(INITIAL_LEG%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20def%20initial_population(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20initial_leg%3Dlist(INITIAL_LEG.values())%2C%20size%3D50%2C%20variation%3D1.0%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20an%20initial%20set%20of%20chromosomes%20(configurations%2F%20legs)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20based%20on%20the%20given%20blueprint.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Note%20that%20not%20all%20chromosomes%20generated%20are%20automatically%20valid!%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20initial_leg%3A%20list%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20An%20initial%20configuration%20that%20serves%20as%20a%20blueprint.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20size%3A%20int%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20number%20of%20chromosomes%20to%20generate.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20variation%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20limit%20of%20a%20range%20in%20which%20the%20blueprint's%20values%20are%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20allowed%20to%20randomly%20vary.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_edge%20%2B%20(2%20*%20np.random.rand()%20-%201)%20*%20variation%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_edge%20in%20initial_leg%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(size)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20return%20(initial_population%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20For%20the%20selection%20of%20parents%20from%20a%20given%20population%20for%20creating%20offspring%2C%20we%20just%20randomly%20select%20two%20and%20pick%20the%20one%20with%20the%20better%20%60fitness()%60%20value.%0A%20%20%20%20Note%20that%20you%20could%20implement%20various%20different%20approaches%20instead.%0A%20%20%20%20For%20example%2C%20you%20could%20eliminate%20a%20selection%20of%20chromosomes%20with%20the%20lowest%20%60fitness()%60%20values%20first%20before%20making%20that%20choice.%0A%20%20%20%20In%20the%20current%20case%2C%20however%2C%20we%20would%20need%20to%20implement%20a%20mechanism%20that%20ensures%20that%20we%20always%20_have_%20sufficient%20parents%20to%20choose%20from%20in%20the%20first%20place%20before%20we%20remove%20elements%20of%20the%20population.%0A%20%20%20%20The%20reason%20is%20that%20not%20all%20leg%20configurations%20actually%20generate%20valid%20leg%20constructs%2C%20and%20we%20simply%20remove%20the%20ones%20that%20fail%20to%20produce%20a%20functioning%20leg%20without%20replacement.%0A%0A%20%20%20%20So%20to%20keep%20things%20simple%2C%20we%20will%20stick%20with%20just%20randomly%20picking%20two%20individuals%20from%20the%20population%20and%20allow%20the%20superior%20one%20to%20reproduce.%0A%20%20%20%20And%20we%20do%20so%20until%20we%20have%20the%20desired%20number%20of%20parents%20for%20the%20next%20generation.%0A%20%20%20%20(At%20this%20point%2C%20we%20fill%20up%20potential%20holes%20from%20the%20previous%20algorithm%20iteration.)%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20select_parents(population%2C%20fitness_values%2C%20n_chromosomes%3DNone)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20a%20randomly%20chosen%20collection%20of%20individuals%20from%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20given%20population%20based%20on%20their%20fitness_values.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20population%3A%20list%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20current%20population%20(chromosomes).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fitness_values%3A%20list%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20fitness%20values%20for%20each%20chromosome%20in%20the%20population.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_chromosomes%3A%20int%20%7C%20None%2C%20default%3A%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20desired%20number%20of%20individuals%20in%20the%20entire%20population.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20If%20%60None%60%2C%20the%20intended%20number%20is%20derived%20from%20the%20given%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20population.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Array%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20collection%20of%20pairs%20as%20parents%20from%20the%20population.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20array%20contains%20half%20as%20many%20pairs%20as%20there%20are%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20individuals%20in%20the%20population%20if%20n_chromosomes%20is%20%60None%60.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Otherwise%2C%20it%20contains%20half%20the%20desired%20number%20of%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20individuals%20in%20the%20population%20as%20pairs%20instead%20(so%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ultimately%20%60n_chromosomes%60%20individuals%20itself%2C%20arranged%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20in%20pairs).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20compete()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Randomly%20pick%20two%20indices%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%2C%20j%20%3D%20np.random.choice(range(len(population))%2C%202)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Return%20the%20individual%20with%20the%20better%20(lower)%20fitness%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20min(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%5Bpopulation%5Bn%5D%2C%20fitness_values%5Bn%5D%5D%20for%20n%20in%20%5Bi%2C%20j%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20key%3Dlambda%20pair%3A%20pair%5B1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%5B0%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20repetitions%20%3D%20(n_chromosomes%20or%20len(population))%20%2F%2F%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.array(%5B(compete()%2C%20compete())%20for%20_%20in%20range(repetitions)%5D)%0A%20%20%20%20return%20(select_parents%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20At%20each%20step%2C%20the%20pairs%20in%20the%20parent%20selection%20get%20mapped%20onto%20a%20pair%20of%20children.%0A%20%20%20%20With%20a%20given%20_crossover_%20rate%2C%20we%20perform%20a%20single-point%20crossover%20step%20here.%0A%20%20%20%20That%20means%20that%20we%20cut%20both%20parental%20chromosomes%20at%20the%20same%20position%2C%20and%20swap%20the%20pieces%20cross-wise.%0A%20%20%20%20(The%20original%20parents%20are%20returned%20as%20their%20%22children%22%20if%20the%20random%20number%20we%20generate%20to%20determine%20whether%20crossover%20takes%20place%20is%20too%20high.)%0A%0A%20%20%20%20At%20this%20stage%2C%20I'll%20gently%20introduce%20the%20%60namedtuple()%60%20structure%20for%20multiple%20return%20values.%0A%20%20%20%20Up%20until%20now%2C%20we%20usually%20dealt%20with%20scalars%2C%20lists%2C%20or%20arrays.%0A%20%20%20%20Now%2C%20however%2C%20for%20the%20purpose%20of%20readability%2C%20inspection%20and%20accessibility%20it%20would%20be%20nice%20to%20have%20some%20sort%20of%20named%20structure.%0A%20%20%20%20(As%20a%20side%20note%2C%20you%20could%20also%20use%20Python's%20%60%40dataclass%60%20decorator%20from%20the%20%60dataclasses%60%20module%20if%20you%20just%20want%20the%20named%20structure%2C%20or%20use%20a%20dictionary%20instead.%0A%20%20%20%20The%20advantage%20of%20the%20%60namedtuple%60%20approach%20over%20dictrionaries%20is%20that%20tuples%20are%20immutable%2C%20which%20I%20generally%20prefer%20when%20it%20comes%20to%20parallelisation%20and%20to%20avoid%20unexpected%20bugs.%0A%20%20%20%20However%2C%20nowhere%20in%20this%20notebook%20does%20this%20quality%20come%20to%20use.%0A%20%20%20%20It's%20just%20a%20default%20personal%20coding%20style.)%0A%0A%20%20%20%20The%20%60namedtuple()%60%20function%20consumes%20the%20name%20of%20a%20data%20type%20to%20construct%2C%20followed%20by%20an%20ordered%20collection%20of%20names%20for%20the%20values%20to%20store.%0A%20%20%20%20In%20the%20example%20below%2C%20the%20function%20%60crossover()%60%20returns%20an%20object%20that%20behaves%20like%20a%20tuple%2C%20but%20also%20allows%20acces%20to%20its%20entries%20in%20dot%20notation%2C%20%60offspring.parent0%60%20and%20%60offspring.parent1%60.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(namedtuple%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20_offspring%20%3D%20namedtuple(%22Offspring%22%2C%20%5Bf%22offspring%7B_n%7D%22%20for%20_n%20in%20range(2)%5D)%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20crossover(parent0%2C%20parent1%2C%20crossover_rate)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20an%20offsping%20tuple%20based%20on%20the%20two%20parents.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Crossover%20happens%20with%20the%20given%20rate.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parent0%3A%20array-like%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20first%20chromosome.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parent1%3A%20array-like%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20second%20chromosome.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20crossover_rate%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20crossover%20rate.%20Should%20be%20in%20the%20interval%20%5B0%2C%201%5D.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Offspring%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20offspring0%3A%20The%20first%20(new)%20chromosome.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20offspring1%3A%20The%20second%20(new)%20chromosome.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.random.rand()%20%3C%20crossover_rate%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20split%20%3D%20np.random.randint(len(parent0))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_offspring(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.concat(%5Bparent0%5B%3Asplit%5D%2C%20parent1%5Bsplit%3A%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.concat(%5Bparent1%5B%3Asplit%5D%2C%20parent0%5Bsplit%3A%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_offspring(parent0%2C%20parent1)%0A%20%20%20%20return%20(crossover%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Lastly%2C%20after%20generating%20offspring%20through%20%60crossover()%60%2C%20mutation%20should%20occur%20with%20a%20given%20rate%20as%20well.%0A%20%20%20%20%60mutate()%60%20will%20take%20care%20of%20that%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20mutate(chromosome%2C%20mutation_rate%2C%20variation%3D0.10)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20a%20newly%20constructed%20chromosome%20with%20random%20mutations%0A%20%20%20%20%20%20%20%20within%20a%20given%20variation%20range%20based%20on%20the%20given%20%60mutation_rate%60.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chromosome%3A%20array-like%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20original%20chromosome.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mutation_rate%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20mutation%20rate.%20Should%20be%20in%20the%20interval%20%5B0%2C%201%5D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20variation%3A%20float%2C%20default%3A%200.1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Delimits%20the%20range%20around%20the%20original%20value%20in%20which%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mutated%20one%20could%20occur.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20value%20%2B%20(2%20*%20np.random.rand()%20-%201)%20*%20variation%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.random.rand()%20%3C%20mutation_rate%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20value%20in%20chromosome%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20return%20(mutate%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Implementing%20the%20full%20algorithm%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20same%20reason%20as%20mentioned%20earlier%20we%20introduce%20another%20two%20%60namedtuple()%60s.%0A%20%20%20%20%60Iteration%60%20is%20a%20collection%20of%20data%20from%20an%20individual%20iteration%20step.%0A%20%20%20%20The%20collection%20of%20all%20%60Iteration%60%20instances%20created%20throughout%20the%20algorithm's%20execution%20is%20the%20%60history%60%2C%20and%20is%20stored%20under%20that%20name%20in%20the%20%60Result%60%20tuple.%0A%0A%20%20%20%20We%20are%20going%20to%20use%20both%20in%20the%20end%20to%20evaluate%20the%20best%20leg%20found%20so%20far%20by%20the%20algorithm%20given%20the%20restrictions%20we%20have%20imposed%2C%20and%20we%20are%20going%20to%20flip%20throught%20the%20%60history%60%20and%20collect%20the%20best%20version%20of%20the%20leg%20from%20each%20and%20visualise%20it%20to%20get%20a%20feeling%20for%20the%20progress%20of%20the%20optimisation%20over%20time.%0A%0A%20%20%20%20But%20first%2C%20we%20need%20to%20compose%20the%20%60genetic_algorithm()%60%20function%20from%20the%20bits%20we%20defined%20so%20far.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20construct_frames%2C%0A%20%20%20%20crossover%2C%0A%20%20%20%20fitness%2C%0A%20%20%20%20initial_population%2C%0A%20%20%20%20mutate%2C%0A%20%20%20%20namedtuple%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20select_parents%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_iteration%20%3D%20namedtuple(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Iteration%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22step%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22population%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22points%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22fitness%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22best_chromosome%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22best_points%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_result%20%3D%20namedtuple(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Result%22%2C%20%5B%22best_fitness%22%2C%20%22best_chromosome%22%2C%20%22best_points%22%2C%20%22history%22%5D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20genetic_algorithm(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_chromosomes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_generations%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_crossover%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_mutation%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20variation%3D0.2%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Execute%20the%20genetic%20algorithm%20to%20generate%20legs%20with%20increasingly%0A%20%20%20%20%20%20%20%20better%20fitness%20values.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_chromosomes%3A%20int%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20(maximum)%20number%20of%20chromosomes%20in%20each%20generation.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_generations%3A%20int%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20number%20of%20generations%20to%20spawn.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_crossover%3A%20float%2C%20default%3A%200.1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20crossover%20rate.%20Should%20be%20within%20the%20interval%20%5B0%2C%201%5D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_mutation%3A%20float%2C%20default%3A%200.1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20mutation%20rate.%20Should%20be%20within%20the%20interval%20%5B0%2C%201%5D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20variation%3A%20float%2C%20default%3A%200.1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Delimits%20the%20range%20of%20variation%20that%20may%20appear%20during%20mutation.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Result%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20best_fitness%3A%20float%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20best%20fitness%20found%20in%20the%20last%20generation.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20best_chromosome%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20best%20chromosome%20in%20the%20last%20generation.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20best_points%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20full%20animation%20frame%20construction%20of%20the%20best%20chromosome%20(leg).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20history%3A%20list(Iteration)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20All%20iterations%20generated%20throughout%20the%20algorithm's%20execution.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Define%20some%20auxiliary%20functions%20for%20code%20readability%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20compute_fitness(frames)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20list(map(fitness%2C%20frames))%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20compute_frames(population)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20f%20in%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20construct_frames(chromosome)%20for%20chromosome%20in%20population%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Initialise%20a%20naive%20population%20and%20generate%20its%20frames%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20population_%20%3D%20initial_population(size%3Dn_chromosomes%2C%20variation%3Dvariation)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frames_%20%3D%20compute_frames(population_)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Some%20chromosomes%20don't%20generate%20valid%20legs%3B%20find%20them%20(indices)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20failures%20%3D%20%5Bidx%20for%20idx%2C%20val%20in%20enumerate(frames_)%20if%20val%20is%20None%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Remove%20the%20failures%20from%20the%20population%0A%20%20%20%20%20%20%20%20population%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20p%20for%20idx%2C%20p%20in%20enumerate(population_)%20if%20idx%20not%20in%20failures%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20And%20only%20consider%20valid%20frames%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frames%20%3D%20%5Bf%20for%20idx%2C%20f%20in%20enumerate(frames_)%20if%20idx%20not%20in%20failures%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Compute%20the%20current%20fitness%20of%20the%20intial%20population%0A%20%20%20%20%20%20%20%20current_fitness%20%3D%20compute_fitness(frames)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Instantiate%20the%20history%0A%20%20%20%20%20%20%20%20history%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_iteration(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20population%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20current_fitness%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20population%5Bnp.argmax(current_fitness)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames%5Bnp.argmax(current_fitness)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Repeat%20n_generations-1%20times%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20step%20in%20range(1%2C%20n_generations)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20previous%20%3D%20history%5B-1%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Compute%20a%20naive%20population%20again%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Note%20that%20here%20the%20tuple%20names%20come%20in%20handy!%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20parents%20%3D%20select_parents(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20previous.population%2C%20previous.fitness%2C%20n_chromosomes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xover%20%3D%20np.concat(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bcrossover(g0%2C%20g1%2C%20r_crossover)%20for%20g0%2C%20g1%20in%20parents%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20generation_%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mutate(chromosome%2C%20r_mutation%2C%20variation)%20for%20chromosome%20in%20xover%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames_%20%3D%20compute_frames(generation_)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Find%20the%20indices%20of%20the%20failed%20chromosomes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20failures%20%3D%20%5Bidx%20for%20idx%2C%20val%20in%20enumerate(frames_)%20if%20val%20is%20None%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Remove%20the%20failures%20from%20the%20generation%20and%20the%20frames%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20generation%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20g%20for%20idx%2C%20g%20in%20enumerate(generation_)%20if%20idx%20not%20in%20failures%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames%20%3D%20%5Bf%20for%20idx%2C%20f%20in%20enumerate(frames_)%20if%20idx%20not%20in%20failures%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Compute%20the%20current%20generation's%20fitness%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20current_fitness%20%3D%20compute_fitness(frames)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Extend%20the%20history%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20history.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_iteration(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20step%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20generation%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20current_fitness%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20generation%5Bnp.argmax(current_fitness)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frames%5Bnp.argmax(current_fitness)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20When%20everything's%20done%2C%20compose%20and%20return%20the%20final%20reault%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20_result(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max(history%5B-1%5D.fitness)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20history%5B-1%5D.best_chromosome%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20history%5B-1%5D.best_points%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20history%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(genetic_algorithm%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20With%20this%2C%20we%20are%20actually%20done%20to%20the%20point%20where%20we%20can%20just%20run%20the%20algorithm%20and%20get%20some%20output.%0A%20%20%20%20But%20to%20add%20a%20bit%20more%20of%20interactivity%20and%20exploration%2C%20let's%20enhance%20the%20experience%20a%20bit%20by%20introducing%20controls%20(in%20the%20exact%20same%20way%20we%20did%20earlier%20with%20the%20number%20of%20frames)%20for%20the%20manipulation%20of%20the%20number%20of%20generations%20to%20create%20during%20an%20algorithm%20execution%2C%20as%20well%20as%20varying%20the%20crossover%20and%20mutation%20rates%20and%20the%20variation%20limit%20a%20bit.%0A%0A%20%20%20%20Since%20that's%20the%20same%20procedure%20as%20earlier%2C%20I%20will%20hide%20the%20code%20and%20just%20give%20the%20control%20interface%20at%20this%20point.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20generations%2C%20set_generations%20%3D%20mo.state(20)%0A%20%20%20%20chromosomes%2C%20set_chromosomes%20%3D%20mo.state(30)%0A%20%20%20%20mutation_rate%2C%20set_mutation_rate%20%3D%20mo.state(0.1)%0A%20%20%20%20crossover_rate%2C%20set_crossover_rate%20%3D%20mo.state(0.1)%0A%20%20%20%20variation%2C%20set_variation%20%3D%20mo.state(0.1)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chromosomes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20crossover_rate%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20generations%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mutation_rate%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20set_chromosomes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20set_crossover_rate%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20set_generations%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20set_mutation_rate%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20set_variation%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20variation%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(generations%2C%20mo%2C%20set_generations)%3A%0A%20%20%20%20generations_number%20%3D%20mo.ui.number(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dgenerations()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_change%3Dlambda%20value%3A%20set_generations(value)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(generations_number%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(generations%2C%20mo%2C%20set_generations)%3A%0A%20%20%20%20generations_decr_button%20%3D%20mo.ui.button(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22-5%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_click%3Dlambda%20_%3A%20set_generations(max(4%2C%20generations()%20-%205))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(generations_decr_button%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(generations%2C%20mo%2C%20set_generations)%3A%0A%20%20%20%20generations_incr_button%20%3D%20mo.ui.button(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%2B5%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_click%3Dlambda%20_%3A%20set_generations(min(50%2C%20generations()%20%2B%205))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(generations_incr_button%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(generations%2C%20mo%2C%20set_generations)%3A%0A%20%20%20%20generations_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dgenerations()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_change%3Dlambda%20value%3A%20set_generations(value)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(generations_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(chromosomes%2C%20mo%2C%20set_chromosomes)%3A%0A%20%20%20%20chromosomes_number%20%3D%20mo.ui.number(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D52%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dchromosomes()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_change%3Dlambda%20value%3A%20set_chromosomes(value)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(chromosomes_number%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(chromosomes%2C%20mo%2C%20set_chromosomes)%3A%0A%20%20%20%20chromosomes_decr_button%20%3D%20mo.ui.button(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22-4%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_click%3Dlambda%20_%3A%20set_chromosomes(max(6%2C%20chromosomes()%20-%204))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(chromosomes_decr_button%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(chromosomes%2C%20mo%2C%20set_chromosomes)%3A%0A%20%20%20%20chromosomes_incr_button%20%3D%20mo.ui.button(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%2B4%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_click%3Dlambda%20_%3A%20set_chromosomes(min(52%2C%20chromosomes()%20%2B%204))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(chromosomes_incr_button%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(chromosomes%2C%20mo%2C%20set_chromosomes)%3A%0A%20%20%20%20chromosomes_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D52%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dchromosomes()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_change%3Dlambda%20value%3A%20set_chromosomes(value)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(chromosomes_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20mutation_rate%2C%20set_mutation_rate)%3A%0A%20%20%20%20mutation_rate_number%20%3D%20mo.ui.number(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dmutation_rate()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_change%3Dlambda%20value%3A%20set_mutation_rate(value)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(mutation_rate_number%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20mutation_rate%2C%20set_mutation_rate)%3A%0A%20%20%20%20mutation_rate_decr_button%20%3D%20mo.ui.button(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22-0.05%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_click%3Dlambda%20_%3A%20set_mutation_rate(max(0%2C%20mutation_rate()%20-%200.05))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(mutation_rate_decr_button%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20mutation_rate%2C%20set_mutation_rate)%3A%0A%20%20%20%20mutation_rate_incr_button%20%3D%20mo.ui.button(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%2B0.05%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_click%3Dlambda%20_%3A%20set_mutation_rate(min(1%2C%20mutation_rate()%20%2B%200.05))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(mutation_rate_incr_button%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20mutation_rate%2C%20set_mutation_rate)%3A%0A%20%20%20%20mutation_rate_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dmutation_rate()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_change%3Dlambda%20value%3A%20set_mutation_rate(value)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(mutation_rate_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(crossover_rate%2C%20mo%2C%20set_crossover_rate)%3A%0A%20%20%20%20crossover_rate_number%20%3D%20mo.ui.number(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dcrossover_rate()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_change%3Dlambda%20value%3A%20set_crossover_rate(value)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(crossover_rate_number%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(crossover_rate%2C%20mo%2C%20set_crossover_rate)%3A%0A%20%20%20%20crossover_rate_decr_button%20%3D%20mo.ui.button(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22-0.05%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_click%3Dlambda%20_%3A%20set_crossover_rate(max(0%2C%20crossover_rate()%20-%200.05))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(crossover_rate_decr_button%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(crossover_rate%2C%20mo%2C%20set_crossover_rate)%3A%0A%20%20%20%20crossover_rate_incr_button%20%3D%20mo.ui.button(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%2B0.05%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_click%3Dlambda%20_%3A%20set_crossover_rate(min(1%2C%20crossover_rate()%20%2B%200.05))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(crossover_rate_incr_button%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(crossover_rate%2C%20mo%2C%20set_crossover_rate)%3A%0A%20%20%20%20crossover_rate_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dcrossover_rate()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_change%3Dlambda%20value%3A%20set_crossover_rate(value)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(crossover_rate_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20set_variation%2C%20variation)%3A%0A%20%20%20%20variation_number%20%3D%20mo.ui.number(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dvariation()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_change%3Dlambda%20value%3A%20set_variation(value)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(variation_number%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20set_variation%2C%20variation)%3A%0A%20%20%20%20variation_decr_button%20%3D%20mo.ui.button(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22-0.1%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_click%3Dlambda%20_%3A%20set_variation(max(0%2C%20variation()%20-%200.1))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(variation_decr_button%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20set_variation%2C%20variation)%3A%0A%20%20%20%20variation_incr_button%20%3D%20mo.ui.button(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%2B0.1%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_click%3Dlambda%20_%3A%20set_variation(min(1%2C%20variation()%20%2B%200.1))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(variation_incr_button%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20set_variation%2C%20variation)%3A%0A%20%20%20%20variation_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3Dvariation()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on_change%3Dlambda%20value%3A%20set_variation(value)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_width%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(variation_slider%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20chromosomes_decr_button%2C%0A%20%20%20%20chromosomes_incr_button%2C%0A%20%20%20%20chromosomes_number%2C%0A%20%20%20%20chromosomes_slider%2C%0A%20%20%20%20crossover_rate_decr_button%2C%0A%20%20%20%20crossover_rate_incr_button%2C%0A%20%20%20%20crossover_rate_number%2C%0A%20%20%20%20crossover_rate_slider%2C%0A%20%20%20%20generations_decr_button%2C%0A%20%20%20%20generations_incr_button%2C%0A%20%20%20%20generations_number%2C%0A%20%20%20%20generations_slider%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20mutation_rate_decr_button%2C%0A%20%20%20%20mutation_rate_incr_button%2C%0A%20%20%20%20mutation_rate_number%2C%0A%20%20%20%20mutation_rate_slider%2C%0A%20%20%20%20variation_decr_button%2C%0A%20%20%20%20variation_incr_button%2C%0A%20%20%20%20variation_number%2C%0A%20%20%20%20variation_slider%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_widths%20%3D%202.5%2C%201%2C%200.5%2C%200.5%2C%205%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Number%20of%20generations%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20generations_number%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20generations_decr_button%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20generations_incr_button%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20generations_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20widths%3D_widths%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Number%20of%20chromosomes%20per%20generation%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20chromosomes_number%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20chromosomes_decr_button%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20chromosomes_incr_button%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20chromosomes_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20widths%3D_widths%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Mutation%20rate%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mutation_rate_number%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mutation_rate_decr_button%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mutation_rate_incr_button%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mutation_rate_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20widths%3D_widths%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Crossover%20rate%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20crossover_rate_number%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20crossover_rate_decr_button%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20crossover_rate_incr_button%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20crossover_rate_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20widths%3D_widths%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Variation%3A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20variation_number%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20variation_decr_button%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20variation_incr_button%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20variation_slider%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20widths%3D_widths%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20Also%2C%20for%20some%20experiments%20it%20might%20be%20desirable%20to%20prevent%20the%20algorithm%20from%20running%20in%20the%20first%20place.%0A%20%20%20%20Here's%20a%20toggle%2F%20switch%20that%20you%20can%20use%20to%20prevent%20it%20from%20being%20run.%0A%20%20%20%20This%20should%20prevent%20expensive%20computations%20after%20just%20minor%20adjustments.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20execution_allowed%20%3D%20mo.ui.switch()%0A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20execution_allowed%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Automatic%20execution%20of%20the%20genetic%20algorithm%20and%20generation%20of%20GIFs%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20widths%3D%5B0.5%2C%2010%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(execution_allowed%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20next%20cell%20is%20prevented%20from%20being%20run%20unless%20the%20toggle%20is%20switched%20ON.%0A%20%20%20%20If%20it%20is%20halted%2C%20all%20subsequent%20code%20cells%20get%20stopped%20as%20well%2C%20their%20outputs%20removed%20and%20replaced%20with%20the%20hint%20that%20this%20one%20is%20momentarily%20blocked.%0A%0A%20%20%20%20If%20execution%20is%20allowed%2C%20however%2C%20it%20runs%20the%20entire%20algorithm%20once%20without%20interruption%2C%20and%20stores%20the%20result%20in%20the%20variable%20%60result%60.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20chromosomes%2C%0A%20%20%20%20crossover_rate%2C%0A%20%20%20%20execution_allowed%2C%0A%20%20%20%20generations%2C%0A%20%20%20%20genetic_algorithm%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20mutation_rate%2C%0A%20%20%20%20variation%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Prevent%20execution%20if%20the%20toggle%20is%20off%0A%20%20%20%20mo.stop(not%20execution_allowed.value)%0A%0A%20%20%20%20result%20%3D%20genetic_algorithm(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_chromosomes%3Dchromosomes()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_generations%3Dgenerations()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_crossover%3Dcrossover_rate()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_mutation%3Dmutation_rate()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20variation%3Dvariation()%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(result%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(generations%2C%20mo%2C%20result)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Present%20the%20findings%20of%20the%20result%20up%20until%20this%20point.%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Final%20results%20(up%20until%20this%20point)%0A%0A%20%20%20%20The%20%60genetic_algorithm()%60%20function%20ran%20through%20%7Bgenerations()%7D%20loops%0A%20%20%20%20and%20found%20a%20leg%20with%20a%20fitness%20value%20of%20%7Bresult.best_fitness%7D.%0A%0A%20%20%20%20The%20edge%20lengths%20of%20that%20leg%20have%20been%20found%20to%20be%20this%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Edge%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%7C------%7C-------%7C%0A%20%20%20%20%7B%22%5Cn%22.join(f%22%7C%20%7B_edge%7D%20%7C%20%7B_value%7D%20%7C%22%20for%20_edge%2C%20_value%20in%20zip(%5B%22AC%22%2C%20%22AD%22%2C%20%22AE%22%2C%20%22AF%22%2C%20%22BC%22%2C%20%22BF%22%2C%20%22CD%22%2C%20%22DE%22%2C%20%22EG%22%2C%20%22EH%22%2C%20%22FG%22%2C%20%22GH%22%5D%2C%20result.best_chromosome))%7D%0A%0A%20%20%20%20Here%20is%20how%20the%20best%20fitness%20per%20generation%20has%20evolved%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Generation%20%7C%20Best%20fitness%20%7C%0A%20%20%20%20%7C------------%7C--------------%7C%0A%20%20%20%20%7B%22%5Cn%22.join(f%22%7C%20%7B_i%7D%20%7C%20%7B_value%7D%20%7C%22%20for%20_i%2C%20_value%20in%20%5B(_iter.step%2C%20max(_iter.fitness))%20for%20_iter%20in%20result.history%5D)%7D%0A%0A%20%20%20%20Finally%2C%20let's%20visualise%20the%20best%20leg%20for%20each%20iteration.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20result%2C%20visualise_frames)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Generate%20the%20visuals%20and%20store%20them%20in%20a%20list%0A%20%20%20%20generation_representatives%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20visualise_frames(_h.best_points)%20for%20_h%20in%20result.history%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20build_grid(elements%2C%20widths)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_cols%20%3D%20len(widths)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20leftovers%20%3D%20len(elements)%20%25%20n_cols%0A%20%20%20%20%20%20%20%20last_row%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Be%20for%20e%20in%20elements%5B-leftovers%3A%5D%5D%2C%20widths%3Dwidths)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20leftovers%20%3E%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20mo.md(%22%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Be%20for%20e%20in%20elements%5Bn%20*%20n_cols%20%3A%20(n%20%2B%201)%20*%20n_cols%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20widths%3Dwidths%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20n%20in%20range(len(elements)%20%2F%2F%20n_cols)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%5Blast_row%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%0A%20%20%20%20build_grid(generation_representatives%2C%20%5B2%2C%202%2C%202%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Discussion%0A%0A%20%20%20%20First%2C%20let's%20look%20at%20the%20visualisations.%0A%20%20%20%20Although%20the%20exact%20GIFs%20you%20see%20differ%20each%20time%20the%20algorithm%20runs%20(since%20the%20random%20seed%20isn't%20fixed%20here)%2C%20you%20should%20observe%20the%20same%20phenomena%20for%20the%20original%20unaltered%20parameters%3A%0A%0A%20%20%20%20First%2C%20_snapping_%20does%20occur%2C%20and%20it's%20likely%20to%20happen%20inearlier%20iterations.%0A%20%20%20%20The%20reason%20is%20primarily%20that%20the%20original%20leg%20from%20which%20the%20initial%20configuration%20gets%20generated%20is%20dangerously%20close%20to%20exhibiting%20this%20behaviour%20already%2C%20due%20to%20how%20close%20%24F%24%20and%20%24E%24%20get.%0A%20%20%20%20Later%20iterations%2C%20however%2C%20seem%20to%20attempt%20to%20avoid%20that%3B%20the%20minimum%20distance%20between%20%24F%24%20and%20%24E%24%20seems%20to%20grow.%0A%0A%20%20%20%20Second%2C%20under%20the%20given%20evaluation%20and%20fitness%20criteria%2C%20the%20algorithm%20seems%20to%20try%20and%20revert%20the%20movement%20direction%20of%20the%20leg.%0A%20%20%20%20While%20the%20curvature%20of%20the%20path%20segment%20of%20%24H%24%20with%20a%20growing%20%24x%24%20coordinate%20appears%20to%20grow%20lower%20(i.e.%20%24H%24%20glides%20on%20a%20straighter%20line%20when%20being%20pulled%20from%20left%20to%20right)%2C%20but%20the%20tradeoff%20is%20that%20for%20the%20reverse%20direction%20%24H%24%20closes%20the%20loop%20further%20down%20below%20that%20segment.%0A%20%20%20%20Now%20the%20originally%20backwards-directed%20path%20segment%20is%20the%20one%20that%20will%20have%20contact%20with%20the%20ground.%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20not%20a%20failure%20of%20the%20algorithm%20itself%2C%20it's%20a%20consequence%20of%20the%20deliberate%20simplicity%20of%20the%20choice%20of%20optimisation%20criteria%20for%20the%20demo%20_and_%20the%20structure%20of%20the%20leg%20itself.%0A%0A%20%20%20%20Third%2C%20without%20further%20restrictions%2C%20the%20movement%20of%20%24H%24%20becomes%20more%20and%20more%20like%20a%20pendulum%20swinging.%0A%20%20%20%20The%20leg%20grows%20stiffer%20(and%20more%20stable)%2C%20but%20impractical%20as%20this%20would%20prevent%20the%20food%20from%20rising%20off%20the%20ground%20to%20begin%20with.%0A%20%20%20%20The%20tendency%20of%20the%20leg%20seeming%20to%20be%20stretching%20out%20and%20letting%20%24H%24%20move%20as%20close%20as%20possible%20on%20an%20arc%20segment%20around%20%24A%24%20suggests%20that%20the%20straightest%20line%20for%20a%20complex%20set%20of%20connected%20vertices%20such%20as%20this%20that's%20generated%20from%20a%20circular%20motion%20turns%20out%20to%20be%20the%20outermost%20arc%20segment%20possible%20for%20the%20leg.%0A%20%20%20%20And%20indeed%2C%20we%20humans%20and%20many%20(but%20certainly%20not%20all)%20animals%20experience%20a%20smooth%20walk%20with%20our%20legs%20stretched%20out%20while%20our%20feet%20have%20contact%20with%20the%20ground.%0A%20%20%20%20Although%20we%20_do_%20have%20the%20ability%20not%20only%20to%20raise%20the%20foot%20we%20currently%20don't%20use%2C%20we%20can%20also%20manage%20to%20adjust%20our%20movements%20such%20that%20we%20could%20walk%20at%20a%20relatively%20stable%20hight%20of%20our%20hips%20while%20in%20a%20crouched%20position.%0A%20%20%20%20But%20that%20is%20due%20to%20an%20additional%20set%20of%20flexible%20joints%20that%20our%20Strandbeest%20leg%20does%20not%20possess.%0A%0A%20%20%20%20Fourth%2C%20you%20may%20happen%20to%20run%20into%20an%20unresolvable%20situation%20while%20the%20algorithm%20runs%20still.%0A%20%20%20%20While%20care%20has%20been%20taken%20to%20fill%20up%20lost%20places%20in%20the%20generations%20when%20invalid%20legs%20get%20constructed%2C%20the%20(hopefully%20rare)%20case%20of%20having%20a%20generation%20without%20a%20single%20valid%20leg%20cannot%20be%20ruled%20out.%0A%20%20%20%20(This%20would%20happen%20in%20a%20_very_%20unlucky%20series%20of%20mutations%20in%20an%20infavourable%20way%20to%20all%20valid%20parents%20we%20_do_%20find%20during%20the%20generation%20shift.)%0A%20%20%20%20But%20the%20assumption%20that%20in%20our%20(initial)%20setup%20such%20a%20case%20is%20incredibly%20unlikely%20discourages%20me%20from%20implementing%20safeguards%20into%20the%20code%20and%20making%20the%20demo%20more%20complicated%20than%20it%20already%20is.%0A%0A%20%20%20%20In%20an%20adjacent%20note%2C%20fifth%2C%20I%20don't%20claim%20that%20the%20code%20was%20efficient%20or%20optimal%20in%20any%20capacity.%0A%20%20%20%20Most%20of%20the%20time%2C%20I%20aim%20for%20clarity.%0A%20%20%20%20Occasionally%2C%20when%20given%20the%20chance%2C%20I%20go%20for%20elegance%20or%20compact%20representations.%0A%20%20%20%20(For%20example%20in%20the%20%60eval()%60%20function%20when%20implementing%20the%20second%20derivative%20of%20the%20path%20segment%20and%20the%20curvature%20I%20chose%20to%20combine%20%60numpy%60%20features%20and%20the%20%60numpy.roll()%60%20function%20in%20particular%20to%20overlay%20the%20path%20segment%20with%20itself%20at%20different%20positions%20instead%20of%2C%20for%20instance%2C%20implementing%20the%20derivative%20as%20a%20%60for%60%20loop%20or%20using%20list%20comprehension.)%0A%20%20%20%20That%20is%20to%20say%20that%20improvements%20may%20very%20much%20still%20be%20possible%20at%20many%20stages%20if%20one%20would%20aim%20for%20computational%20performance%2C%20information%20density%20or%20readability.%0A%20%20%20%20In%20fact%2C%20I%20mentioned%20it%20earlier%2C%20but%20I%20didn't%20stress%20the%20aspect%20of%20functional%20versus%20object-oriented%20coding%20principles.%0A%20%20%20%20Python%20is%20meant%20to%20allow%20both%20(like%20many%20modern%20languages%20nowadays)%2C%20but%20it%20certainly%20favours%20the%20OO%20approach%20by%20conception.%0A%20%20%20%20While%20functional%20programming%20styles%20_might_%20have%20the%20advantage%20for%20data-related%20tasks%20such%20as%20this%20(not%20only%20because%20they're%20easier%20to%20parallelise%20due%20to%20the%20intrinsic%20non-mutability%20of%20its%20data)%2C%20Python%20was%20never%20built%20for%20such%20a%20specific%20task%20and%20I%20am%20not%20sure%20whether%20it%20would%20even%20provide%20the%20necessary%20functionality%20out%20of%20the%20box%20(without%20Cython)%20to%20achieve%20this.%0A%20%20%20%20Attempting%20to%20enforce%20a%20rigid%20functional%20programming%20style%20in%20a%20Python%20environment%20could%20easily%20be%20seen%20as%20bad%20Python%20programming%2C%20even.%0A%20%20%20%20The%20thought%20process%20should%20be%3A%20if%20a%20functional%20approach%20is%20needed%2C%20pick%20a%20functional%20programming%20language%20(such%20as%20Haskell).%0A%20%20%20%20That%20is%20not%20to%20say%20that%20Python%20was%20without%20its%20advantages.%0A%20%20%20%20Quite%20the%20opposite.%0A%20%20%20%20Looking%20at%20what%20you%20are%20reading%20through%20right%20now%2C%20I%20would%20say%20there%20are%20no%20better%20alternatives%20available%20at%20the%20moment%20of%20writing%20this%20paragraph.%0A%0A%20%20%20%20%23%20Improvements%20and%20next%20steps%0A%0A%20%20%20%20As%20mentioned%20earlier%2C%20aside%20from%20code%20optimisations%20one%20should%20aim%20for%20improving%20the%20genetic%20algorithm%20to%20produce%20better%20solutions%20for%20the%20leg.%0A%20%20%20%20First%2C%20raising%20the%20foot%20when%20it%20doesn't%20have%20contact%20with%20the%20floor%20would%20be%20a%20good%20idea.%0A%20%20%20%20At%20the%20same%20time%2C%20however%2C%20snapping%20cases%20need%20to%20be%20taken%20care%20of%20as%20well.%0A%20%20%20%20If%20one%20was%20to%20simply%20add%20a%20term%20to%20the%20%60fitness()%60%20function%20that%20favours%20high%20%60y%60%20values%20during%20the%20regressing%20trace%20part%20of%20%24H%24%2C%20one%20would%20actually%20encourage%20leg%20snapping.%0A%0A%20%20%20%20Also%2C%20since%20the%20algorithm%20seems%20to%20try%20and%20revert%20the%20movement%20direction%2C%20one%20could%20try%20and%20see%20what%20would%20happen%20if%20%60theta%60%20was%20reverted%3B%20if%20%24B%24%20was%20to%20move%20on%20its%20circle%20in%20the%20mathematical%20negative%20direction.%0A%20%20%20%20(Spoiler%3A%20this%20would%20change%20the%20path%20that%20%24H%24%20traces%20significantly%2C%20but%20it%20wouldn't%20prevent%20the%20algorithm%20from%20switching%20movement%20directions%20again%20by%20lowering%20the%20reverted%20path%20segment%20of%20%24H%24%20to%20the%20ground.)%0A%0A%20%20%20%20Of%20course%2C%20the%20leg%20structure%20itself%20could%20be%20improved%20as%20well%20by%20strategically%20adding%20vertices%20and%20edges.%0A%20%20%20%20A%20look%20at%20the%20real%20Strandbeest%20legs%20that%20Jansen%20used%20for%20his%20creatures%20could%20give%20inspiration.%0A%20%20%20%20I%20would%20suggest%20that%20if%20doing%20so%2C%20if%20trying%20to%20experiment%20with%20variations%20of%20leg%20constructs%2C%20to%20modify%20the%20way%20the%20leg%20gets%20constructed%20from%20its%20edge%20lengths.%0A%20%20%20%20Abstracting%20it%20to%20a%20degree%20where%20more%20dynamic%20configurations%20can%20be%20read%20and%20interpreted.%0A%20%20%20%20(As%20it%20is%20now%2C%20a%20minor%20modification%20like%20removing%20%24F%24%20and%20connecting%20%24B%24%20and%20%24G%24%20directly%2C%20for%20example%2C%20would%20require%20adjustments%20at%20several%20positions.)%0A%0A%20%20%20%20And%20finally%2C%20if%20one%20was%20to%20persist%20the%20GIFs%20created%2C%20a%20mechanism%20to%20do%20so%20could%20easily%20be%20implemented%20as%20well.%0A%20%20%20%20(All%20it%20would%20take%20was%20to%20replace%20the%20stream%20export%20to%20generate%20a%20HTML%20representation%20with%20a%20file%20name%20instead.%0A%20%20%20%20%60PIL%60%20has%20built-in%20support%20for%20saving%20images%20and%20GIFs%20to%20files%20with%20the%20%60save()%60%20method.)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Thank%20you%20for%20reading%20through%20this%20notebook!%0A%0A%20%20%20%20We%20reached%20the%20end.%0A%20%20%20%20This%20is%20notebook%20turned%20out%20quite%20a%20bit%20larger%20than%20I%20intended%20initially.%0A%20%20%20%20But%20I%20thought%20that%20%60marimo%60%20notebooks%20are%20a%20fantastic%20tool%20to%20explain%2C%20demonstrate%20and%20allow%20for%20interactive%20exploration%20even%20for%20those%20who%20are%20less%20interested%20in%20the%20actual%20code%20but%20more%20in%20the%20influcence%20of%20concrete%20parameter%20choices.%0A%20%20%20%20And%20with%20this%20one%2C%20I%20simultaneously%20tried%20out%20its%20export%20capabilities%20and%20limitations%20for%20static%20HTML%20sites.%0A%0A%20%20%20%20(If%20you%20have%20visited%20my%20other%20demos%20and%2F%20or%20my%20website%2C%20%5Barcticneural.de%5D(https%3A%2F%2Farcticneural.de)%2C%20you%20might%20have%20seen%20me%20mention%20limitations%20in%20the%20context%20of%20chart%20themes%20and%20styles%20for%20interactive%20charts.%0A%20%20%20%20I%20wasn't%20sure%20if%20I%20could%20export%20a%20notebook%20that%20would%20create%20and%20render%20GIF%20images%20online%20like%20this.)%0A%0A%20%20%20%20Thank%20you%20again%20for%20your%20time%20and%20your%20interest.%0A%20%20%20%20If%20you%20like%20what%20you%20have%20read%20through%2C%20feel%20free%20to%20visit%20me%20on%20my%20website%20(%5Barcticneural.de%5D(https%3A%2F%2Farcticneural.de))%20or%20take%20a%20look%20at%20my%20other%20demos.%0A%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A